Contoh Soalan Membincangkan Nombor Kompleks
Nombor kompleks merupakan topik yang sering ditemui dalam matematik di peringkat sekolah menengah dan kolej. Nombor kompleks terdiri daripada dua bahagian: bahagian nyata dan bahagian khayalan. Menggunakan notasi konvensional, nombor kompleks ditulis sebagai \( z = a + bi \), dengan \( a \) dan \( b \) ialah nombor nyata, dan \( i \) ialah unit khayalan dengan sifat \( i^2 = -1 \). Artikel ini akan merangkumi beberapa contoh dan perbincangannya mengenai nombor kompleks, daripada operasi asas hingga aplikasi dalam penyelesaian masalah.
Contoh Soalan dan Perbincangan
1. Penambahan dan Penolakan Nombor Kompleks
Soalan 1
Biarkan \( z_1 = 3 + 4i \) dan \( z_2 = 1 – 2i \). Kira \( z_1 + z_2 \) dan \( z_1 – z_2 \).
Perbincangan
Untuk menambah atau menolak nombor kompleks, kita hanya perlu mengendalikan bahagian nyata dengan bahagian nyata dan bahagian khayalan dengan bahagian khayalan.
Tambahan:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Penolakan:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Jadi, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) dan \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Pendaraban Nombor Kompleks
Soalan 2
Kira hasil darab bagi \( z_1 = 2 + 3i \) dengan \( z_2 = 4 – i \).
Perbincangan
Untuk mendarab dua nombor kompleks, kita menggunakan sifat taburan algebra:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Kami mendarabkan setiap komponen:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Oleh kerana \( i^2 = -1 \), maka:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Jadi, hasil darab \( z_1 \cdot z_2 \) ialah \( 11 + 10i \).
3. Pembahagian Nombor Kompleks
Soalan 3
Kira hasil bahagi bagi \( z_1 = 3 + 4i \) dengan \( z_2 = 1 – i \).
Perbincangan
Untuk membahagi nombor kompleks, kita darabkan pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut nombor kompleks. Konjugat bagi \( 1 – i \) ialah \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Mari kita kira penyebutnya dahulu:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Sekarang kita kira pengangka:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Jadi, hasilnya ialah:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modulus dan Hujah Nombor Kompleks
Soalan 4
Tentukan modulus dan argumen bagi \( z = 1 + i \).
Perbincangan
Modulus nombor kompleks \( z = a + bi \) ialah:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Untuk \( z = 1 + i \), kita ada \( a = 1 \) dan \( b = 1 \):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Argumen nombor kompleks ialah sudut \( \theta \) yang dibentuk dengan paksi nyata positif, diukur dari asalan menuju titik \( (a, b) \).
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Jadi, modulus bagi \( z = 1 + i \) ialah \( \sqrt{2} \) dan argumennya ialah \( \frac{\pi}{4} \).
5. Bentuk Eksponen dan Corak Euler
Soalan 5
Tukarkan nombor kompleks \( z = 1 + i \) kepada bentuk eksponen.
Perbincangan
Bentuk eksponen nombor kompleks menggunakan formula Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Di mana \( r \) ialah modulus dan \( \theta \) ialah hujah. Daripada perbincangan sebelumnya, kita tahu bahawa:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Jadi, bentuk eksponennya ialah:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Punca Nombor Kompleks
Soalan 6
Cari punca kuasa dua bagi nombor kompleks \( z = -1 \).
Perbincangan
Punca kuasa dua nombor kompleks boleh didapati menggunakan bentuk kutub atau eksponen. Kita tukarkan \( z = -1 \) kepada bentuk eksponen:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Punca kuasa dua bagi \( e^{i\pi} \) boleh ditulis sebagai:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Dengan \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), dan \( k = 0, 1 \):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Jadi, punca kuasa dua bagi \( -1 \) ialah \( i \) dan \( -i \).
7. Aplikasi dalam Persamaan Kuadratik
Soalan 7
Selesaikan persamaan kuadratik \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Perbincangan
Kita boleh menggunakan formula kuadratik:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Untuk persamaan \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Jadi, penyelesaian bagi \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) ialah \( z = -2 + 3i \) dan \( z = -2 – 3i \).
Kesimpulannya
Nombor kompleks merupakan konsep matematik yang sangat luas dengan pelbagai aplikasi. Dengan memahami operasi asas seperti penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian, serta cara mengira modulus dan argumen, kita boleh menyelesaikan pelbagai masalah yang melibatkan nombor kompleks. Semoga contoh-contoh di atas dapat membantu anda lebih memahami dan menguasai topik ini.
