Contoh Soalan Membincangkan Peraturan untuk Menambah Dua Peristiwa Eksklusif A dan B
Dalam teori kebarangkalian, peraturan jumlah dua peristiwa merupakan salah satu prinsip asas yang digunakan untuk mengira kebarangkalian berbilang peristiwa. Konsep ini sering digunakan dalam pelbagai situasi untuk memahami kemungkinan hasil peristiwa tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan peraturan jumlah dua peristiwa saling eksklusif dan memberikan contoh untuk menjelaskan konsep ini.
Peraturan Penambahan Dua Peristiwa Saling Eksklusif
Pertama sekali, adalah penting untuk memahami apa yang dimaksudkan dengan peristiwa saling eksklusif. Dua peristiwa dikatakan tidak bersambung atau saling eksklusif jika ia tidak boleh berlaku pada masa yang sama. Dalam erti kata lain, tiada unsur dalam set satu peristiwa yang juga merupakan unsur dalam set peristiwa yang lain.
Peraturan penambahan dalam kebarangkalian menyatakan bahawa jika dua peristiwa \(A\) dan \(B\) saling eksklusif, maka kebarangkalian sama ada peristiwa \(A\) atau \(B\) ialah jumlah kebarangkalian kedua-dua peristiwa tersebut. Secara matematik, peraturan ini boleh dinyatakan sebagai:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
di mana \(P(A \cup B)\) ialah kebarangkalian \(A\) atau \(B\), \(P(A)\) ialah kebarangkalian peristiwa \(A\), dan \(P(B)\) ialah kebarangkalian peristiwa \(B\).
Contoh Soalan Perbincangan
Mari kita bincangkan beberapa contoh untuk menjelaskan aplikasi peraturan bagi menambah dua peristiwa saling eksklusif.
Contoh Soalan 1
Soalan:
Sebiji dadu bermuka enam dilambung sekali. Cari kebarangkalian nombor yang terhasil ialah 2 atau 4.
Perbincangan:
Kita boleh mentakrifkan peristiwa \(A\) sebagai kejadian nilai 2, dan peristiwa \(B\) sebagai kejadian nilai 4. Oleh itu:
– \(P(A)\) ialah kebarangkalian nilai 2 muncul.
– \(P(B)\) ialah kebarangkalian nilai 4 muncul.
Oleh kerana dadu mempunyai enam sisi yang sama kemungkinan, kebarangkalian nilai tertentu digolek ialah \( \frac{1}{6} \). Jadi:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
Peristiwa \(A\) dan \(B\) adalah saling eksklusif kerana nilai 2 dan 4 tidak boleh muncul serentak dalam satu gulungan dadu. Oleh itu, menggunakan peraturan penambahan untuk dua peristiwa saling eksklusif:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Jadi, kebarangkalian nilai yang muncul ialah 2 atau 4 ialah \( \frac{1}{3} \) atau kira-kira 33.33%.
Contoh Soalan 2
Soalan:
Di dalam sebuah beg terdapat 10 bola yang terdiri daripada 4 bola merah dan 6 bola biru. Jika kita memilih sebiji bola secara rawak, apakah kebarangkalian bola yang diambil berwarna merah atau biru?
Perbincangan:
Kita boleh mentakrifkan peristiwa \(A\) sebagai mengambil bola merah, dan peristiwa \(B\) sebagai mengambil bola biru. Oleh itu:
– \(P(A)\) ialah kebarangkalian memilih sebiji bola merah.
– \(P(B)\) ialah kebarangkalian memilih bola biru.
Kebarangkalian setiap peristiwa boleh dikira seperti berikut:
\[ P(A) = \frac{\text{Bilangan bola merah}}{\text{Jumlah bilangan bola}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Bilangan bola biru}}{\text{Jumlah bilangan bola}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Peristiwa \(A\) dan \(B\) adalah saling eksklusif kerana bola tidak boleh berwarna merah dan biru. Oleh itu, menggunakan peraturan penambahan untuk dua peristiwa saling eksklusif:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Jadi, kebarangkalian bola yang dikeluarkan berwarna merah atau biru ialah 1, atau 100%. Ini masuk akal kerana semua bola di dalam beg berwarna merah atau biru.
Contoh Soalan 3
Soalan:
Dalam sebuah kelas yang terdiri daripada 20 orang pelajar, 7 orang daripadanya suka matematik, 5 orang suka sains, dan tiada seorang pun yang suka kedua-duanya. Jika seorang pelajar dipilih secara rawak, cari kebarangkalian pelajar itu suka sama ada matematik atau sains.
Perbincangan:
Kita boleh mentakrifkan peristiwa \(A\) sebagai menyukai matematik, dan peristiwa \(B\) sebagai menyukai sains. Oleh itu:
– \(P(A)\) ialah kebarangkalian seorang pelajar menyukai matematik.
– \(P(B)\) ialah kebarangkalian seorang pelajar menyukai sains.
Kebarangkalian setiap peristiwa boleh dikira seperti berikut:
\[ P(A) = \frac{\text{Bilangan pelajar yang suka matematik}}{\text{Jumlah pelajar}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Bilangan pelajar yang suka sains}}{\text{Jumlah pelajar}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Peristiwa \(A\) dan \(B\) saling eksklusif kerana tiada pelajar yang menyukai kedua-duanya. Oleh itu, menggunakan peraturan penambahan untuk dua peristiwa saling eksklusif:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Jadi, kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih secara rawak menyukai sama ada matematik atau sains ialah \( \frac{3}{5} \) atau 60%.
Kesimpulannya
Peraturan penambahan dua peristiwa saling eksklusif merupakan konsep asas dalam teori kebarangkalian yang memudahkan pengiraan kebarangkalian peristiwa bersama. Dalam contoh di atas, kita telah melihat bahawa prinsip ini boleh digunakan untuk situasi dunia sebenar seperti melambung dadu, menarik bola dari beg atau memilih pelajar daripada kelas. Dengan memahami dan menguasai konsep ini, kita boleh mengira kebarangkalian pelbagai peristiwa saling eksklusif dalam kehidupan seharian dengan lebih berkesan.
