Contoh Soalan dan Perbincangan Sektor Bulatan
Sektor bulatan merupakan topik penting dalam matematik yang kerap muncul dalam peperiksaan dan soalan latihan. Sektor ialah bahagian bulatan yang dibatasi oleh dua jejari dan lengkok yang menghubungkannya. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan beberapa contoh masalah pada sektor bulatan, berserta penjelasan terperinci, untuk memperdalam pemahaman kita.
Definisi Sektor Bulatan
Sektor bulatan ialah sektor bulatan yang dibatasi oleh dua jejari dan satu lengkok. Luas sesuatu sektor dikira berdasarkan sebahagian kecil daripada jumlah luas bulatan. Formula utama yang digunakan untuk mengira sesuatu sektor adalah seperti berikut:
– Luas Juring : \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Panjang Arka : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Di mana:
– \( \theta \) ialah saiz sudut sektor dalam darjah,
– \( r \) ialah jejari bulatan,
– \( \pi \) ialah pemalar (lebih kurang 3.14159).
Contoh Soalan dan Perbincangan
Soalan 1:
Diberi sebuah bulatan dengan jejari 10 cm dan sebuah sektor dengan sudut pusat 90°. Kirakan luas sektor tersebut.
Perbincangan:
Ia diketahui:
– \( r = 10 \) cm
– \( \theta = 90^\circ \)
Kami menggunakan formula untuk luas sektor:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Jika \( \pi \) dianggap sebagai 3.14, maka:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Jadi, luas sektor tersebut ialah 78.5 cm².
Soalan 2:
Suatu sektor bulatan mempunyai jejari 7 cm dan panjang lengkok 11 cm. Tentukan sudut pusat sektor itu dalam radian.
Perbincangan:
Ia diketahui:
– \( r = 7 \) cm
– Panjang lengkungan \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Kita menggunakan formula panjang lengkok untuk mencari sudut \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Oleh kerana kita diminta untuk mencari sudut dalam radian, kita gantikan 360° dengan \(2\pi\) radian:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \theta \darab 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \lebih kurang 1.57 \text{ rad}\]
Jadi, sudut pusat sektor itu ialah 1.57 radian.
Soalan 3:
Sebuah bulatan dengan jejari 16 cm mempunyai sektor dengan luas 200 cm². Kirakan sudut pusat sektor itu.
Perbincangan:
Ia diketahui:
– \( r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Kita menggunakan formula luas untuk sektor untuk mencari \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \kali 360^\circ = \theta \kali 256 \kali 3.14\]
\[72000 = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \darab 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \lebih kurang 89.45^\circ\]
Jadi, sudut pusat sektor itu ialah lebih kurang 89.45°.
Soalan 4:
Kira jumlah lilitan sektor yang mempunyai jejari 12 cm dan sudut pusat 120°.
Perbincangan:
Ia diketahui:
– \( r = 12 \) cm
– \( \theta = 120^\circ \)
Pertama, kita cari panjang lengkungan:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \kali 2\pi \kali 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ cm}\]
Kemudian, kita kira lilitan sektor (panjang lengkok + dua jejari):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \times 12\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}\]
Jika \( \pi \) dianggap sebagai 3.14, maka:
\[K = 24\text{ cm} + 8 \times 3.14\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ cm} + 25.12\text{ cm}\]
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Jadi, jumlah lilitan sektor itu ialah 49.12 cm.
Soalan 5:
Jika sebuah bulatan dengan jejari 18 cm mempunyai sektor yang membentuk sudut 45°, tentukan panjang lengkok dan luas sektor tersebut.
Perbincangan:
Ia diketahui:
– \( r = 18 \) cm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Panjang Arka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ cm}\]
Jika \( \pi \) dianggap sebagai 3.14, maka:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ cm} \approx 14.13\text{ cm}\]
Jadi, panjang busur itu ialah kira-kira 14.13 cm.
2. Kawasan Sektor:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Jika \( \pi \) dianggap sebagai 3.14, maka:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \approx 127.17\text{ cm}^2\]
Jadi, luas sektor itu adalah lebih kurang 127.17 cm².
Kesimpulannya
Dalam artikel ini, kita telah membincangkan beberapa contoh masalah berkaitan sektor bulatan dan penyelesaiannya. Intipati memahami sektor bulatan terletak pada penguasaan formula asas untuk mengira luas sektor dan panjang lengkok. Latihan yang kerap dan pemahaman tentang cara menggunakan formula ini untuk pelbagai jenis masalah diharapkan dapat membantu meningkatkan keupayaan anda menyelesaikan masalah yang serupa.
