1. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे m 1 = 2 kg आणि m 2 = 5 kg वस्तुमानाचे दोन पदार्थ एका उतरत्या पृष्ठभागावर असून ते एका दोरीने जोडलेले आहेत. m 1 आणि उतरता पृष्ठभाग यांच्यातील गतिज घर्षणांक 0.2 आहे आणि m 2 आणि उतरता पृष्ठभाग यांच्यातील गतिज घर्षणांक 0.1 आहे.
(अ) त्यांचे त्वरण निश्चित करा
(ब) तणाव बल निश्चित करा
ज्ञात :
वस्तुमान १ (m 1 ) = २ किलोग्रॅम
वस्तुमान २ (m 2 ) = ४ किलोग्रॅम
m 1 आणि कललेल्या प्रतलातील गतिज घर्षण गुणांक (μ k1 ) = 0.2
m 2 आणि कललेल्या प्रतलातील गतिज घर्षण गुणांक (μ k2 ) = 0.1
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 9.8 m/ s²
अ) प्रवेगाचे परिमाण आणि दिशा
w 1 = वजन 1 = m 1 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 न्यूटन
w 1x = w 1 sin 30 o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 न्यूटन
w 1y = w 1 cos 30 o = (19.6 N)(0.87) = 17 न्यूटन
N 1 = m 1 वरील अभिलंब बल = w 1y = १७ न्यूटन
F k1 = m 1 वरील गतिज घर्षणाचे बल = μ k1 N 1 = (0.2)(17 N) = 3.4 न्यूटन
---
w 2 = वजन 2 = m 2 g = (4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 39.2 न्यूटन
w 2x = w 2 sin 60 o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 न्यूटन
w 2y = w 2 cos 60 o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 न्यूटन
N 2 = m 2 वरील अभिलंब बल = w 2y = १९.६ न्यूटन
F k2 = m 2 वरील गतिज घर्षणाचे बल = μ k2 N 2 = (0.1)(19.6 N) = 1.96 न्यूटन
---
त्वरणाचे परिमाण :
∑ F x = ma x
w 2x > w 1x म्हणून त्वरणाची दिशा ही w 2x च्या दिशेसारखीच आहे.
त्वरणाच्या दिशेने असणारी बले धन असतात आणि त्वरणाच्या विरुद्ध दिशेने असणारी बले ऋण असतात.
w2x - एफk2 - ट2 + टी1 - डब्ल्यू1x - एफk1 = (मी1 + मी2) ax
w 2x – F k2 – w 1x – F k1 = (m 1 + m 2 ) a x
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a x
८९.३६ N = (२८ किलोग्रॅम) अ x
a x = १८.९४ न्यूटन : ६ किलोग्रॅम
a x = 3.16 m/s 2
त्वरणाचे परिमाण = 3.16 m/s² . त्वरणाची दिशा = T₁ ची दिशा = w²x ची दिशा
ब) ताण बलाचे परिमाण
वस्तू २ वर न्यूटनचा दुसरा नियम लागू करा :
w 2x – F k2 – T 2 = m 2 a x
34.1 N – 1.96 N – T 2 = (4 kg)(3.16 m/s 2 )
३९.२ न्यूटन – टी १ = १३.०४ न्यूटन
T 2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 न्यूटन
ताण बल = T = T 1 = T 2 = १९.५ न्यूटन
[irp]
2. m 1 = 4 kg, m 2 = 2 kg. निश्चित करा (a) त्वरणाचे परिमाण आणि दिशा (b) m 1 आणि m 2 यांना जोडणाऱ्या ताण बलाचे परिमाण (c) कप्पी आणि छप्पर यांना जोडणाऱ्या ताण बलाचे परिमाण.
उपाय
w 1 = m 1 g = (4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 39.2 न्यूटन
w 2 = m 2 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 न्यूटन
अ) प्रवेगाचे परिमाण आणि दिशा
∑ F y = ma y
w 1 > w 2 म्हणून वस्तूची दिशा वजन 1 ( w 1 ) च्या दिशेसारखीच आहे . ज्या बलांची दिशा त्वरणाच्या दिशेसारखीच असते ती धन असतात आणि ज्या बलांची दिशा त्वरणाच्या विरुद्ध असते ती ऋण असतात.
w 1 – T 1 + T 2 – w 2 = (m 1 + m 2 ) a y
w 1 – w 2 = (m 1 + m 2 ) a y
39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a y
१९.६ N = (६ किलोग्रॅम) अ वाय
a y = १९.६ N : ६ किलोग्रॅम
a y = 3.26 m/s 2
त्वरणाचे परिमाण = 3.26 m/s² . त्वरणाची दिशा = w₁ ची दिशा.
ब) m1 आणि m2 यांना जोडणाऱ्या ताण बलाचे परिमाण
m² वर न्यूटनचा दुसरा नियम लागू करा :
∑ F y = ma y
w 1 – T 1 = m 1 a y
39.2 N – T 1 = (4 kg)( 3.26 m/s 2 )
३९.२ न्यूटन – टी १ = १३.०४ न्यूटन
T 1 = 39.2 N – 13.04 N
टी १ = २४ न्यूटन
वस्तूंना जोडणाऱ्या ताण बलाचे परिमाण = T = T 1 = T 2 = २६.१६ न्यूटन
c) कप्पी आणि छप्पर यांना जोडणाऱ्या ताण बलाचे परिमाण.
कप्पी स्थिर आहे:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
वरच्या दिशेने असलेले बल सकारात्मक, तर खालच्या दिशेने असलेले बल नकारात्मक असते.
T 3 – T 1 – T 2 = 0
T3 = T1 + T2
T 1 आणि T 2 यांचे परिमाण समान आहे , T 1 = T 2 = T = 26.16 N :
T 3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 न्यूटन
[irp]
३. ब्लॉक १ (मी १ = १० किलोग्रॅम) आणि ब्लॉक २ (मी २ = १५ किलोग्रॅम) हे घर्षणरहित कप्पीवरून एका दोरीने जोडलेले आहेत. ब्लॉक २ आणि उतार यांच्यातील स्थिर घर्षणांक = ०.६. ब्लॉक २ आणि उतार यांच्यातील गतिज घर्षणांक = ०.४२. निश्चित करा (अ) वस्तूंना वरच्या दिशेने प्रवेग देण्यासाठी त्यांच्यावर लावलेल्या किमान बल F चे परिमाण (ब) ताण बलाचे परिमाण निश्चित करा.
उपाय
w 1 = ठोकळ्याचे वजन 1 = m 1 g = (10 kg)(9.8 m/s 2 ) = 98 न्यूटन
w 2 = ठोकळ्याचे वजन 2 = m 2 g = (15 kg)(9.8 m/s 2 ) = 147 न्यूटन
w 2y = w 2 cos 30 o = (147 N)(0.87) = 127.89 न्यूटन
w 2x = w 2 sin 30 o = (147 N)(0.5) = 73.5 न्यूटन
N 2 = ब्लॉक 2 वरील अभिलंब बल = w 2y = 127.89 न्यूटन
F k2 = ठोकळ्यावरील गतिज घर्षणाचे बल 2 = μ k2 N 2 = (0.42)(127.89 N) = 53.7 न्यूटन
F s2 = ठोकळ्यावरील स्थिर घर्षणाचे बल 2 = μ s2 N 2 = (0.6)(127.89 N) = 76.7 न्यूटन
अ) वस्तूंना वरच्या दिशेने प्रवेग देण्यासाठी वस्तूंवर लावलेल्या किमान बल F चे परिमाण
∑ F x = ma x —— a x = 0
∑ F x = 0
वरच्या आणि उजव्या दिशेच्या शक्ती सकारात्मक असतात, तर खालच्या आणि डाव्या दिशेच्या शक्ती नकारात्मक असतात.
F – F k2 – w 2x – w 1 – T 2 + T 1 = 0
F – F k2 – w 2x – w 1 = 0
F = F k2 + w 2x + w 1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = ४० न्यूटन
ब) ताण बलाचे परिमाण
ब्लॉक १ वर न्यूटनचा गतीचा नियम लागू करा :
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
T 1 – w 1 = 0
T 1 = w 1 = ९८ न्यूटन
ब्लॉक १ वर न्यूटनचा गतीचा नियम लागू करा :
F – F k2 – w 2x – T 2 = 0
T 2 = F – F k2 – w 2x
T 2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
टी १ = २४ न्यूटन
ताण बलाचे परिमाण = T 1 = T 2 = T = 98 न्यूटन
[irp]
४. ठोकळा १ (मी १ = १६ किलोग्रॅम) एका क्षैतिज पृष्ठभागावर आहे आणि ठोकळा २ (मी २ = १२ किलोग्रॅम) एका गुळगुळीत कलत्या सपाटीवर आहे. ते एका लहान, घर्षणरहित कप्पीवरून जाणाऱ्या दोरीने जोडलेले आहेत. ठोकळा ३ (मी ३ = ५ किलोग्रॅम) हा ठोकळा २ वर ठेवलेला आहे. ठोकळा २ आणि क्षैतिज पृष्ठभाग यांच्यातील गतिज घर्षणांक ०.४ आहे. ठोकळा २ आणि ठोकळा ३ यांच्यातील स्थिर घर्षणांक ०.३ आहे.
(अ) जेव्हा प्रणाली स्थिर स्थितीतून सोडली जाते, तेव्हा ब्लॉक ३ आणि ब्लॉक २ अजूनही एकत्र सरकतात का?
(ब) जर ब्लॉक 3 असेल, तर ब्लॉक 1 आणि ब्लॉक 2 चे त्वरण काय आहे?
उपाय:
अ) जेव्हा प्रणाली स्थिर स्थितीतून सोडली जाते, तेव्हा ब्लॉक ३ आणि ब्लॉक २ अजूनही एकत्र सरकतात का?
w 1 = ठोकळ्याचे वजन 1 = m 1 g = (16 kg)(9.8 m/s 2 ) = 156.8 न्यूटन
w 1x = w 1 sin 60 o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 न्यूटन
w 1y = w 1 cos 60 o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 न्यूटन
N 1 = कललेल्या प्रतलाने ठोकळा 1 वर लावलेले अभिलंब बल = w 1y = 78.4 न्यूटन
w 3 = ठोकळ्याचे वजन 3 = m 3 g = (5 kg)(9.8 m/s 2 ) = 49 न्यूटन
N 23 = ब्लॉक 2 द्वारे ब्लॉक 3 वर लावलेले अभिलंब बल = w 3 = 49 न्यूटन
N 32 = ब्लॉक 3 द्वारे ब्लॉक 2 वर लावलेले अभिलंब बल = N 23 = w 3 = 49 न्यूटन
(N 23 आणि N 32 ही क्रिया-प्रतिक्रिया जोडी आहे )
F s23 = ब्लॉक 2 द्वारे ब्लॉक 3 वर लावलेले स्थिर घर्षण बल = μ s N 23 = (0.3)(49 N) = 14.7 न्यूटन
F s32 = ब्लॉक 3 द्वारे ब्लॉक 2 वर लावलेले स्थिर घर्षण बल = F s 23 = 14.7 न्यूटन
(F s23 आणि F s32 ही क्रिया-प्रतिक्रिया जोडी आहे )
w 2 = ठोकळ्याचे वजन 2 = m 2 g = (12 kg)(9.8 m/s 2 ) = 117.6 न्यूटन
N 2 = क्षैतिज पृष्ठभागाद्वारे वस्तू 2 वर लावलेले अभिलंब बल = w 2 + N 32 = 117.6 न्यूटन + 49
न्यूटन = १६६.६ न्यूटन
F k2 = ठोकळ्यावरील गतिज घर्षणाचे बल 2 = μ k N 2 = (0.4)(166.6 N) = 66.64 न्यूटन
ब्लॉक ३ वर न्यूटनचा गतीचा नियम लागू करा :
∑ F x = ma x
F s23 = m 3 a x
—–> एफS23 = μs N23 = μs w3 = μs m3 g
μ s m 3 g = m 3 a x
μ s g = a x
a x = (0.3)(9.8 m/s 2 ) = 2.94 m/s 2
ब्लॉक 3 चा कमाल प्रवेग 2.94 m/ s² आहे जेणेकरून ब्लॉक 3 आणि ब्लॉक 2 एकत्र घसरत राहतील.
आता आपण प्रणालीला स्थिर स्थितीतून सोडल्यानंतर तिच्या प्रवेगाचे परिमाण मोजू.
ब्लॉकच्या विस्थापनाची दिशा = ब्लॉकच्या प्रवेगाची दिशा = T 2 ची दिशा = w 1x ची दिशा.
∑ F x = ma x
w1x - ट1 + टी2 - एफk2 - एफS32 + एफS23 = (मी1 + मी2 + मी3) ax
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a x
136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a x
८९.३६ N = (२८ किलोग्रॅम) अ x
a x = 2.11 m/s 2
a x धन आहे, याचा अर्थ ब्लॉक विस्थापनाची दिशा किंवा त्वरणाची दिशा ही T 2 च्या दिशेसारखी किंवा w 1x च्या दिशेसारखी आहे.
त्वरणाचे परिमाण 2.11 m/s² आहे , जे 2.94 m/s² पेक्षा कमी आहे , म्हणून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की ब्लॉक 3 आणि ब्लॉक 2 स्थिर स्थितीतून सोडल्यानंतरही एकत्र सरकतात.
ब) ब्लॉक १ आणि ब्लॉक २ च्या प्रवेगाचे परिमाण
∑ F x = ma x
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 ) a x
—–> एफk2 = μk N2 = μk w2 = μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = १० न्यूटन
136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a x
८९.३६ N = (२८ किलोग्रॅम) अ x
a x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s 2
[wpdm_package आयडी='२९८९']
- वस्तुमान आणि वजन
- सामान्य शक्ती
- न्यूटनचा गतीचा दुसरा नियम
- घर्षण बल
- घर्षण बलाशिवाय क्षैतिज पृष्ठभागावरील गती
- घर्षण बलासह खडबडीत क्षैतिज पृष्ठभागावर समान त्वरणाने दोन वस्तूंची गती
- घर्षण बलाशिवाय उतरत्या पृष्ठभागावरील गती
- घर्षण बलासह खडबडीत कलत्या पृष्ठभागावरील गती
- लिफ्टमधील गती
- वस्तूंची गती दोऱ्या आणि कप्पीद्वारे जोडलेली असते.
- समान परिमाणाचे त्वरण असलेले दोन पिंड
- सपाट वळण घेणे – वर्तुळाकार गतीची गतिशीलता
- उतार असलेल्या वळणाला वळवणे – वर्तुळाकार गतीची गतिशीलता
- क्षैतिज वर्तुळात एकसमान गती
- एकसमान वर्तुळाकार गतीमधील अभिकेंद्री बल
