वर्तुळाकार गतीमधील भौतिकशास्त्राचे प्रमाण

वर्तुळाकार गतीमधील भौतिकशास्त्राच्या राशींमध्ये कोनीय विस्थापन, कोनीय वेग आणि कोनीय त्वरण यांचा समावेश होतो.

1. कोनीय विस्थापन (θ)

वर्तुळाकार गतीमधील विस्थापनाला कोनीय विस्थापन म्हणतात. त्यामुळे, सदिश राशींसहित कोनीय विस्थापनाला परिमाण आणि दिशा असते. कोनीय विस्थापनाची दिशा सामान्यतः घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने (घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने किंवा विरुद्ध दिशेने) व्यक्त केली जाते.

कोनीय विस्थापनाची तीन एकके आहेत. पहिले, अंश (°). वर्तुळाचा एक परिघ ३६०° असतो.^oदुसरे, प्रदक्षिणा. वर्तुळाचा एक परिघ म्हणजे एक प्रदक्षिणा. तिसरे, रेडियन. खालील आकृतीचे निरीक्षण करा. जर एखादी वस्तू वर्तुळात फिरत असेल तर r = वर्तुळाची त्रिज्या, x = वस्तूने पार केलेल्या वर्तुळाकार मार्गाची लांबी = वर्तुळाचा परिघ.

वर्तुळाचा एक परिघ 2π रेडियन असतो.

नमुना समस्या १:

१ प्रदक्षिणा = ३६० ^° . अर्धी प्रदक्षिणा = …. रेडियन?

उपाय:

1 क्रांती = 360 ^o = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad

१/२ प्रदक्षिणा = १८० ^° = १/२ (६.२८ रेडियन) = ३.१४ रेडियन

नमुना समस्या २:

1 rad = …… ^o ? 1 ^o = … rad ?

उपाय:

१८० ^° = π रेडियन = ३.१४ रेडियन

२. कोनीय वेग (ω)

अ. सरासरी कोनीय वेग

नमुना समस्या १:

एक चाक घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने फिरते, २ सेकंदांसाठी १८० ^{° आणि १ सेकंदासाठी ९० °} कोनात फिरते . सरासरी कोनीय वेगाचे परिमाण आणि दिशा काय आहे?

उपाय:

सरासरी कोनीय वेगाची दिशा = घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने.

9 ^o /s = … rad/s ?

नमुना समस्या १:

^{एक चाक घड्याळाच्या दिशेने फिरते आणि ४ सेकंदांसाठी ३६० अंशाच्या} कोनात फिरते . त्यानंतर ते चाक घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने फिरते आणि २ सेकंदांसाठी १८० ^{अंशाच्या} कोनात फिरते . सरासरी कोनीय वेग किती आहे?

उपाय:

सरासरी कोनीय वेगाची दिशा = घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने.

3 ^o /s = … rad/s?

ब. तात्कालिक कोनीय वेग

तात्कालिक कोनीय वेगाला अनेकदा कोनीय वेग म्हटले जाते. जर फक्त कोनीय वेगाचा उल्लेख केला असेल, तर त्याचा अर्थ तात्कालिक कोनीय वेग असा होतो. तात्कालिक कोनीय वेगाचे परिमाण = अतिशय कमी कालावधीतील कोनीय वेगाचे परिमाण. गणितानुसार:

जर रेषीय गतीमध्ये आपण वेगाच्या परिमाणाऐवजी चाल वापरू शकतो, तर वर्तुळाकार गतीमध्ये आपण कोनीय वेगाच्या परिमाणाऐवजी कोनीय चाल वापरू शकतो.

3. कोनीय प्रवेग (α)

अ. सरासरी कोनीय त्वरण

नमुना समस्या २:

एक पवनचक्की सुरुवातीला स्थिर होती, वाऱ्यामुळे ती घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने फिरू लागली. २ सेकंदांनंतर, तिचा कोनीय वेग ९० ^° /से होतो. तिचा सरासरी कोनीय वेग किती आहे?

उपाय:

सरासरी, पवनचक्कीचा कोनीय वेग दर १ सेकंदाला ४५ अंश प्रति सेकंद बदलतो = … रेडियन प्रति सेकंद?

ब. तात्कालिक कोनीय त्वरण

तात्क्षणिक कोनीय त्वरणाला अनेकदा 'कोनीय त्वरण' असे संक्षिप्त रूप दिले जाते. तात्क्षणिक कोनीय त्वरण म्हणजे अत्यंत कमी कालावधीत कोनीय वेगात होणारा बदल होय. गणितीय भाषेत:

वर्तुळाकार गतीमधील रेषीय परिमाणे

रेषीय राशी म्हणजे रेषीय गतीमधील राशी, जसे की विस्थापन (अंतर), वेग (चाल) आणि त्वरण. याउलट, वर्तुळाकार गतीमधील राशींना कोनीय राशी म्हटले जाते.

1. विस्थापन

चाक, पंखा, पवनचक्की, घड्याळ इत्यादींसारख्या फिरणाऱ्या वस्तूचे निरीक्षण करा. जेव्हा पंख्यासारखी वस्तू फिरते, तेव्हा पंख्याचे सर्व भाग एकत्र फिरतात. जर पंखा एक प्रदक्षिणा (३६० ^° ) पूर्ण करत असेल, तर पंख्याचे कडेला असलेले आणि अक्षाजवळ असलेले सर्व भागसुद्धा एक प्रदक्षिणा किंवा ३६० ^° पूर्ण करतात . एक प्रदक्षिणा किंवा ३६० ^° हे पंख्याच्या कडेला आणि अक्षाजवळ असलेल्या सर्व भागांनी केलेल्या कोनीय विस्थापनाचे परिमाण आहे.

जेव्हा पंखा एक प्रदक्षिणा पूर्ण करतो, तेव्हा पंख्याचा कडेवरील भाग आणि फिरण्याच्या अक्षाजवळील भाग एका वर्तुळाएवढे (2) अंतर पार करतात. जर पंख्याची त्रिज्या 20 सेमी असेल, तर पंख्याच्या कडेपासून फिरण्याच्या अक्षापर्यंतचे अंतर 20 सेमी आहे. उदाहरणार्थ, अक्ष आणि अक्षाजवळील पंख्याच्या एका भागामधील अंतर = 1 सेमी. जेव्हा पंखा एक प्रदक्षिणा पूर्ण करतो, तेव्हा पंख्याची कडा वर्तुळाकारपणे (2)(3.14)(20 सेमी) = 125.6 सेमी अंतर पार करते.

अक्षाजवळ असलेला बिंदू (2)(3.14)(1 सेमी) = 6.28 सेमी इतके वर्तुळाकार फिरतो. पंख्याच्या कडेने केलेल्या विस्थापनाचे परिमाण 125.6 सेमी आहे.

तर 6.28 सेमी हे परिभ्रमण अक्षाजवळ असलेल्या बिंदूने केलेल्या विस्थापनाचे परिमाण आहे. r जितका लहान, विस्थापन तितके लहान. विस्थापन (d) आणि कोनीय विस्थापन (θ) यांच्यातील संबंध खालील समीकरणाने व्यक्त केला जातो:

θ = d / r

d = r θ

d = विस्थापन (मीटर), r = त्रिज्या किंवा परिभ्रमण अक्षापासूनचे अंतर (मीटर), θ = कोनीय विस्थापन (रेडियन)

नमुना समस्या १:

5 सेमी त्रिज्येची एक सीडी 90° कोनातून फिरते. परिभ्रमण अक्षापासून 2 सेमी अंतरावर असलेल्या बिंदूचे विस्थापन किती असेल?

उपाय:

r = परिभ्रमणाच्या अक्षापासूनचे अंतर = 2 सेमी = 0.02 मीटर

θ = 90 ^° = 1.57 rad (रेडियनमध्ये नमूद करणे आवश्यक आहे)

d = (0.02 m)(1.57 rad) = 0.03 m.

कोनीय विस्थापनाला आंतरराष्ट्रीय प्रणालीचे एकक नाही आणि त्याला कोणतेही परिमाण नाही (त्याचे परिमाण 1 आहे), म्हणून वरील गणनेमध्ये, गणना परिणामांमधून फक्त रेडियन एकक काढून टाका.

2. वेग

फिरवताना, पंख्याला किंवा कोणत्याही फिरणाऱ्या वस्तूला अर्थातच एक विशिष्ट कालावधी लागतो. जर पंखा घड्याळाच्या दिशेने फिरत असेल आणि एक प्रदक्षिणा (360 ^° ) पूर्ण करायला 1 सेकंद लागत असेल,

तर पंख्याच्या सर्व भागांचा कोनीय वेग 1 rev/s = 360 ^o /s = 6.28 rad/s आहे आणि कोनीय वेगाची दिशा ही तास काट्याच्या दिशेसारखीच आहे.

जर पंख्याची त्रिज्या २० सेमी असेल, तर पंख्याची कडा २(३.१४)(२० सेमी) / १ सेकंद = १२५.६ सेमी/से = १.२५६ मीटर/से या वेगाने वर्तुळाकार फिरते. फिरण्याच्या अक्षापासून १ सेमी (०.०१ मीटर) अंतरावर असलेल्या बिंदूचा वेग २(३.१४)(१ सेमी)/१ सेकंद = ६.२८ सेमी/से = ०.०६२८ मीटर/से आहे. r जितका लहान, वेग तितका कमी. वर्तुळाकार गतीमध्ये, वेगाला अनेकदा स्पर्शरेषीय वेग म्हटले जाते.

वेग (v) आणि कोनीय वेग (ω) यांच्यातील संबंध खालील समीकरणाने व्यक्त केला जातो:

v = वेग (मी/से), r = त्रिज्या किंवा परिभ्रमण अक्षापासूनचे अंतर (मी), ω = कोनीय वेग (रेडियन/से)

नमुना समस्या २:

दुसऱ्या काट्याचा वेग 6.28 rad/मिनिट = 6.28 rad / 60 सेकंद = 0.1 rad/s आहे. परिभ्रमणाच्या अक्षापासून 2 cm (0.02 m) अंतरावर असलेल्या बिंदूचा वेग किती असेल?

उपाय:

ω = ०.१ rad/s, r = ०.०२ m

v = r

ω = (०.०२ मी)(०.१ रेड/से) = ०.००२ मी/से

गणनेच्या निकालांमधून रेडियन काढून टाका.

२. प्रवेग

वर्तुळाकार गतीने फिरणाऱ्या बिंदूच्या वेगाचे परिमाण आणि दिशा बदलल्यास तो गतिमान होतो. त्यामुळे, वर्तुळाकार गतीमध्ये दोन प्रकारचे त्वरण असतात. पहिले, अभिकेंद्री त्वरण (ac ₎ किंवा त्रिज्यीय त्वरण (ar ₎ असेही म्हणतात . वेगाच्या दिशेतील बदलांमुळे अभिकेंद्री त्वरण निर्माण होते. अभिकेंद्री त्वरणाची दिशा नेहमी वर्तुळाच्या केंद्राकडे असते.

अभिकेंद्री त्वरणाचे परिमाण आहे:

a _c = अभिकेंद्री त्वरण (m/s² ⁾ , r = त्रिज्या किंवा परिभ्रमण अक्षापासूनचे अंतर (m), v = वेग (m/s), ω = कोनीय वेग (rad/s)

दुसरे म्हणजे, स्पर्शरेषीय त्वरण (a _t ). वेगाच्या परिमाणातील बदलांमुळे स्पर्शरेषीय त्वरण निर्माण होते. फिरणाऱ्या पंख्याच्या कडेवरील एका बिंदूचे निरीक्षण करा. जर सुरुवातीला पंखा स्थिर असेल, तर पंख्याच्या कडेवरील बिंदू देखील स्थिर असतो (v = 0). जर एका सेकंदानंतर, पंखा 1 rev/s = 360 ^o /s = 6.28 rad/s या कोनीय गतीने फिरू लागला, ज्यामुळे पंख्याच्या कडेवरील बिंदू 1.2 m/s च्या वेगाने वर्तुळाकार गतीने फिरू लागतो.

तर पंख्याच्या वाऱ्याच्या कडेवरील बिंदूला 1.2 m/s प्रति सेकंद = 1.2 m/s² चा स्पर्शरेषीय प्रवेग ^{जाणवतो}.

_{स्पर्शरेषीय त्वरण (a t} ) आणि कोनीय त्वरण ( α ) यांच्यातील संबंध खालील समीकरणाने व्यक्त केला जातो:

a _t = स्पर्शरेषीय त्वरण (m/s ² ), r = त्रिज्या किंवा परिभ्रमणाच्या अक्षापासूनचे अंतर (m), α = कोनीय त्वरण (rad/s ² )

आवर्तकाल (T) आणि वारंवारता (f) यांचा वेग आणि कोनीय वेगाशी असलेला संबंध

आवर्तकाल एखाद्या वस्तूला एक प्रदक्षिणा पूर्ण करण्यासाठी लागणारा कालावधी दर्शवतो, तर वारंवारता एका सेकंदात होणाऱ्या प्रदक्षिणांची संख्या दर्शवते. आवर्तकाल आणि वारंवारता यांच्यातील संबंध f = 1/T या समीकरणाद्वारे व्यक्त केला जातो.

आवर्तकालाचे आंतरराष्ट्रीय प्रणाली एकक सेकंद आहे, तर वारंवारतेचे आंतरराष्ट्रीय प्रणाली एकक १/सेकंद (= हर्ट्झ) आहे. वर्तुळाकार गतीने फिरणाऱ्या कणांचा वेग (v) आणि कोनीय वेग (ω) हे आवर्तकाल किंवा वारंवारतेमध्ये व्यक्त केले जाऊ शकतात.

वर्तुळाकार गतीने फिरणाऱ्या कणाचा वेग (v) खालील समीकरणाने व्यक्त केला जातो:

वर्तुळाकार गतीने फिरणाऱ्या कणांच्या कोनीय वेगाचे (ω) परिमाण खालील समीकरणाने व्यक्त केले जाते: