एकसर आणि समांतर जोडणीतील स्प्रिंग – समस्या आणि उपाय

१. एका स्प्रिंगच्या एका टोकाला १६० ग्रॅम वजनाची वस्तू जोडल्यास स्प्रिंगच्या लांबीत ४ सेमी बदल होतो. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, एकसर आणि समांतर जोडलेल्या तीन स्प्रिंगच्या लांबीत किती बदल होईल?

ज्ञात :

स्प्रिंगच्या लांबीतील बदल (Δx) = 4 सेमी = 0.04 मीटर एकसर आणि समांतर जोडणीतील स्प्रिंग – समस्या आणि उपाय १

वस्तुमान (m) = 160 ग्रॅम = 0.16 किलोग्रॅम

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वजन (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 न्यूटन

अपेक्षित आहे : तीन स्प्रिंगच्या लांबीतील बदल (Δx)

उपाय:

हुकच्या नियमाचे समीकरण :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

तिन्ही स्प्रिंगचा स्थिरांक समान आहे, k = 40 N/m.

समतुल्य स्थिरांक निश्चित करा :

स्प्रिंग 2 (k ₂ ) आणि स्प्रिंग 3 (k ₃ ) समांतर जोडलेले आहेत. समतुल्य स्थिरांक :

k ₂₃ = k ₂ + k ₃ = 40 + 40 = 80 N/m

स्प्रिंग ३ (k ₁ ) आणि स्प्रिंग १२ (k ₂₃ ) एकसर जोडणीत आहेत. समतुल्य स्थिरांक :

1/k = 1/k ₁ + 1/k ₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = २००/५

तीन स्प्रिंगच्या लांबीतील बदल निश्चित करा :

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

२. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, समान स्थिरांकाच्या तीन स्प्रिंग्ज एकसर आणि समांतर जोडणीत जोडलेल्या आहेत , आणि एका स्प्रिंगच्या एका टोकाला २-किलो वजनाची वस्तू जोडलेली आहे. स्प्रिंग स्थिरांक k ₁ = k ₂ = k ₃ = ३०० N/m आहे. तिन्ही स्प्रिंग्जच्या लांबीत किती बदल होईल? गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण g = १० ms ^-२ आहे.

ज्ञात :

स्प्रिंग स्थिरांक k₁= k₂ = k₃= ३०० न्यूटन मीटर^-1

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

वस्तूचे वस्तुमान (m) = ५ किलोग्रॅम

वस्तूचे वजन (w) = mg = (2)(10) = 20 न्यूटन

अपेक्षित आहे : तीन स्प्रिंगच्या लांबीतील बदल (Δx)

उपाय:

समतुल्य स्थिरांक निश्चित करा :

स्प्रिंग 1 (k ₁ ) आणि स्प्रिंग 2 (k ₂ ) समांतर जोडलेले आहेत. समतुल्य स्थिरांक :

k ₁₂ = k ₁ + k ₂ = 300 + 300 = 600 N/m

स्प्रिंग ३ (k ₃ ) आणि स्प्रिंग १२ (k ₁₂ ) एकसर जोडणीत आहेत. समतुल्य स्थिरांक :

1/k = 1/k ₃ + 1/k ₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

तीन स्प्रिंगच्या लांबीतील बदल निश्चित करा :

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 मी

३. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे तीन स्प्रिंग एकसर आणि समांतर जोडणीत जोडलेले आहेत. जर स्प्रिंग स्थिरांक k = ५० Nm⁻¹ असेल ^आणि एका स्प्रिंगच्या एका टोकाला ४०० ग्रॅम वस्तुमान जोडले असेल, तर तिन्ही स्प्रिंगच्या लांबीत किती बदल होईल?

ज्ञात :

स्प्रिंग स्थिरांक 1 (k₁) = k = ५० Nm^-1

स्प्रिंग स्थिरांक 2 (k ₂ ) = k = 50 Nm ^-1

स्प्रिंग स्थिरांक 3 (k ₃ ) = 2k = 2 (50 Nm ^-1 ) = 100 Nm ^-1

वस्तूचे वस्तुमान (m) = ४०० ग्रॅम = ०.४ किलोग्रॅम

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वस्तूचे वजन (w) = mg = (0.4)(10) = 4 न्यूटन

अपेक्षित आहे : लांबीतील बदल (Δx)

उपाय:

समतुल्य स्थिरांक निश्चित करा :

स्प्रिंग 1 (k ₁ ) आणि स्प्रिंग 2 (k ₂ ) समांतर जोडलेले आहेत. समतुल्य स्थिरांक :

k ₁₂ = k ₁ + k ₂ = 50 + 50 = 100 N/m

स्प्रिंग ३ (k ₃ ) आणि स्प्रिंग १२ (k ₁₂ ) एकसर जोडणीत आहेत. समतुल्य स्थिरांक :

1/k = 1/k ₃ + 1/k ₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

तीन स्प्रिंगच्या लांबीतील बदल निश्चित करा :

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

स्प्रिंग्ज एकसर जोडणीत जोडल्याने एकूण स्प्रिंग स्थिरांकावर कसा परिणाम होतो?
- उत्तर: जेव्हा स्प्रिंग्ज एकसर जोडणीत जोडल्या जातात, तेव्हा एकूण स्प्रिंग स्थिरांक कमी होतो. समतुल्य स्प्रिंग स्थिरांकाचा व्युत्क्रम हा वैयक्तिक स्प्रिंग स्थिरांकांच्या व्युत्क्रमांची बेरीज असतो: 1/k $=२२.५/ k ^{1} + १/ k ^{2}$ .
जेव्हा स्प्रिंग्ज समांतर जोडणीत जोडल्या जातात, तेव्हा एकूण स्प्रिंग स्थिरांकात कसा बदल होतो?
- उत्तर: स्प्रिंग्ज समांतर जोडल्यास मिळणारा एकूण स्प्रिंग स्थिरांक हा वैयक्तिक स्प्रिंग स्थिरांकांची बेरीज असतो: k $= k_{1} + k_{2}$ .
जर दोन एकसारख्या स्प्रिंग्ज एकसर जोडणीत जोडल्या, तर त्यांच्या एकत्रित स्प्रिंग स्थिरांकाची तुलना एका स्वतंत्र स्प्रिंगच्या स्प्रिंग स्थिरांकाशी कशी असेल?
- उत्तर: एकत्रित स्प्रिंग स्थिरांक हा वैयक्तिक स्प्रिंगपैकी एकाच्या स्प्रिंग स्थिरांकाच्या निम्मा असेल.
एकसर जोडणीत असलेल्या स्प्रिंगवर बल लावल्यावर त्यांच्या प्रसरणाचे किंवा संकोचनाचे काय होते?
- उत्तर: एका रांगेत जोडलेल्या स्प्रिंग्जमध्ये, समान बलामुळे प्रत्येक स्प्रिंग ताणली जाते किंवा आकुंचन पावते, परंतु एकूण ताण (किंवा आकुंचन) हा प्रत्येक स्प्रिंगच्या स्वतंत्र ताणांची (किंवा आकुंचनांची) बेरीज असतो.
जर समांतर जोडलेल्या स्प्रिंगवर बल लावले, तर त्या बलाचे वितरण कसे होते?
- उत्तर: समांतर जोडलेल्या स्प्रिंगमध्ये, बल त्यांच्या स्प्रिंग स्थिरांकांनुसार विभागले जाते. कमी स्प्रिंग स्थिरांक असलेल्या स्प्रिंगपेक्षा जास्त स्प्रिंग स्थिरांक असलेल्या स्प्रिंगवर बलाचा मोठा भार येतो.
मालिकेत जोडलेल्या स्प्रिंगना जास्त लांबीची एकच स्प्रिंग म्हणून का मानले जाऊ शकते?
- उत्तर: एकसर जोडणीतील स्प्रिंगचा एकत्रित परिणाम हा एका लांब स्प्रिंगला ताणण्यासारखाच असतो. प्रत्येक स्प्रिंगचे ताणले जाणे किंवा आकुंचन पावणे यांची बेरीज होते, अगदी जसे एका लांब, एकल स्प्रिंगच्या बाबतीत होते.
समान बल लावल्यास, एकसर जोडणीतील स्प्रिंगमध्ये साठवलेल्या स्थितीज ऊर्जेची तुलना समांतर जोडणीतील स्प्रिंगमध्ये साठवलेल्या स्थितीज ऊर्जेशी कशी असते?
- उत्तर: समान बल लावल्यास, एकसर जोडणीतील स्प्रिंग समांतर जोडणीतील स्प्रिंगपेक्षा जास्त स्थितिज ऊर्जा साठवतात, कारण त्यांच्यामध्ये एकत्रितपणे जास्त ताण किंवा संकोचन होते.
जर समांतर रचनेतील एखादी स्प्रिंग तुटली किंवा निकामी झाली, तर प्रणालीच्या एकूण कार्यप्रणालीवर काय परिणाम होतो?
- उत्तर: समांतर रचनेतील एक स्प्रिंग तुटल्यास, उर्वरित स्प्रिंग्ज कार्यरत राहतील. तथापि, प्रणालीचा एकूण स्प्रिंग स्थिरांक कमी होईल आणि प्रणाली पूर्वीइतके प्रत्यानयन बल लावू शकणार नाही.
समान बल लावल्यावर, समांतर जोडलेल्या स्प्रिंगपेक्षा एकसर जोडलेल्या स्प्रिंगमध्ये जास्त विरूपण होण्याची शक्यता का असते?
- उत्तर: एकसर जोडणीत, प्रत्येक स्प्रिंगवर समान बल कार्य करते, ज्यामुळे प्रत्येक स्प्रिंग ताणली जाते किंवा संकुचित होते. एकूण विरूपण हे वैयक्तिक विरूपणांची बेरीज असते. समांतर जोडणीत, बल स्प्रिंगमध्ये विभागले जाते, त्यामुळे प्रत्येक स्प्रिंगवर कमी प्रभावी बल कार्य करते, ज्यामुळे वैयक्तिक विरूपण कमी होते.
व्यावहारिक उपयोगांमध्ये, अभियंते स्प्रिंग्ज एकसर जोडणीऐवजी समांतर जोडणीत वापरणे का पसंत करू शकतात?

उत्तर: एकूण स्प्रिंग कॉन्स्टंट वाढवण्यासाठी अभियंते समांतर स्प्रिंग्ज निवडू शकतात, ज्यामुळे अधिक ताठरपणा येतो. या रचनेमुळे अतिरिक्त सुरक्षितता देखील मिळते; जर एक स्प्रिंग निकामी झाली, तरीही प्रणाली कमी झालेल्या एकूण स्प्रिंग कॉन्स्टंटसह कार्य करत राहते.