जडपणाचे क्षण

१. कणाचा जडत्वाचा क्षण

फिरणाऱ्या कणाचे पुनरावलोकन करा. m वस्तुमानाच्या कणाला F बल दिले जाते, ज्यामुळे तो कण O अक्षाभोवती फिरतो. कण फिरण्याच्या अक्षापासून r अंतरावर आहे. सुरुवातीला, कण स्थिर असतो (v = 0). F बलाने गतिमान झाल्यानंतर, कण एका विशिष्ट वेगाने फिरतात, ज्यामुळे कणांना स्पर्शरेषीय त्वरण प्राप्त होते. बल (F), वस्तुमान (m) आणि कणांचे स्पर्शरेषीय त्वरण यांच्यातील संबंध समीकरण ३ द्वारे व्यक्त केला जातो:

F = ma_टॅन (समीकरण एक्सएनयूएमएक्स)

कण फिरतात त्यामुळे त्यांना कोनीय त्वरण मिळते. स्पर्शरेषीय त्वरण आणि कोनीय त्वरण यांच्यातील संबंध समीकरण ४ ने दर्शविला जातो:

a_टॅन = आर α (समीकरण ४)

समीकरण ३ मध्ये a ची जागा समीकरण ४ मधील a ने घ्या:

F = mr α

r F = mr² α

τ = (श्री.²) α (समीकरण ४)

r F हे बलाचे परिबल आहे आणि mr² कणाचा जडत्वाचा क्षण आहे. समीकरण ५ फिरणाऱ्या कणांच्या बलाचा क्षण, जडत्वाचा क्षण आणि कोनीय त्वरण यांच्यातील संबंध दर्शवते. समीकरण ५ हे फिरणाऱ्या कणांसाठी न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचे समीकरण आहे.

The जडत्व च्या क्षण कणाचे वस्तुमान (m) आणि परिभ्रमण अक्षापासून कणांमधील अंतराचा वर्ग (r) यांचा गुणाकार म्हणजे कणाचे परिभ्रमण होय.²).

मी = श्री.² (समीकरण एक्सएनयूएमएक्स)

I = कणाचा जडत्वाचा क्षण, m = कणाचे वस्तुमान, r = कण आणि परिभ्रमणाच्या अक्षामधील अंतर. कणाचा जडत्वाचा क्षण निश्चित करण्यासाठी समीकरण ६ वापरले जाते.

३.२ कणाच्या जडत्व परिबलाची नमुना उदाहरणे

नमुना समस्या १.

२ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा एक कण ०.५ मीटर लांबीच्या दोरीला बांधून फिरवण्यात आला. कण फिरत असताना त्याचा जडत्वाचा क्षण किती असेल?

उपाय:

मी = श्री.²

I = (2 kg) (0.5 m)²

I = ५० किलोग्रॅम मीटर²

नमुना समस्या १.

प्रत्येकी २ किलो आणि ४ किलो वस्तुमान असलेले दोन कण एका हलक्या तारेने जोडलेले आहेत, ज्या तारेची लांबी २ मीटर आहे. तारांचे वस्तुमान विचारात घेऊ नका. जर, त्या दोन कणांचा जडत्वाचा क्षण निश्चित करा.

अ) परिभ्रमणाचा अक्ष दोन कणांच्या मध्ये स्थित आहे

उपाय:

मी = मी₁ r₁² + मी₂ r₂²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = ५० किलोग्रॅम मीटर²

ब) परिभ्रमणाचा अक्ष २ किलो वस्तुमानाच्या कणापासून ०.५ मीटर अंतरावर आहे.

मी = मी₁ r₁² + मी₂ r₂²

मी = (2)(0.5²) + (4)(1.5²)

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = ५० किलोग्रॅम मीटर²

c) परिभ्रमणाचा अक्ष ४ किलो वस्तुमानाच्या कणापासून ०.५ मीटर अंतरावर आहे.

मी = मी₁ r₁² + मी₂ r₂²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5²)

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = ५० किलोग्रॅम मीटर²

वरील गणनेच्या निकालांनुसार, जडत्व परिभ्रमणाच्या अक्षाच्या स्थानावर मोठ्या प्रमाणात अवलंबून असते. आकार आणि माप समान असले तरी, परिभ्रमणाच्या अक्षाचे स्थान भिन्न असल्यामुळे जडत्व परिभ्रमण देखील भिन्न असते.

परिभ्रमण अक्षाजवळ असलेल्या कणांचा जडत्वाचा क्षण लहान असतो, तर परिभ्रमण अक्षापासून दूर असलेल्या कणांचा जडत्वाचा क्षण मोठा असतो. जर आपण असे गृहीत धरले की वरील दोन कण दृढ वस्तू आहेत, तर प्रत्येक कण परिभ्रमण अक्षाजवळ आहे.

परिभ्रमण अक्षापासून दूर असलेल्या कणाच्या जडत्व परिबलापेक्षा लहान जडत्व परिबल असते.

३.३ एकजिनसी दृढ वस्तूचा जडत्वाचा क्षण

दृढ वस्तू अनेक कणांनी बनलेल्या असतात. दृढ वस्तूचा जडत्वाचा क्षण म्हणजे ती वस्तू बनवणाऱ्या प्रत्येक कणाच्या जडत्वाच्या क्षणांची एकूण बेरीज होय.

I = Σ mr²

मी = मी₁ r₁² + मी₂ r₂² + मी₃ r₃² + ….. + मी_n r_n²

एखाद्या दृढ वस्तूचा जडत्वाचा क्षण निश्चित करण्यासाठी, ती वस्तू फिरत असताना तिचे निरीक्षण करणे आवश्यक आहे, कारण परिभ्रमण अक्षाच्या स्थानाचा वस्तूच्या जडत्वाच्या क्षणावर परिणाम होतो. प्रत्येक कणाचा जडत्वाचा क्षण (I) हा कणाच्या वस्तुमानावर (m) आणि अंतराच्या वर्गावर (r) देखील अवलंबून असतो.²परिभ्रमणाच्या अक्षापासून कणाचे वस्तुमान. वस्तू बनवणाऱ्या सर्व कणांचे वस्तुमान हे त्या वस्तूचे वस्तुमान असते.

समस्या अशी आहे की, प्रत्येक कणाचे परिभ्रमण अक्षापासूनचे अंतर बदलते.

R बोटे आणि M वस्तुमान असलेल्या पातळ अंगठीच्या जडत्वाच्या क्षणाच्या सूत्रातील घटीचे पुनरावलोकन करा.

जर परिभ्रमणाचा अक्ष कड्याच्या केंद्रावर असेल, तर पातळ कड्याचे सर्व कण परिभ्रमणाच्या अक्षापासून दूर स्थित असतात. पातळ कड्याची जडत्व परिभ्रमण सर्व कणांच्या जडत्व परिभ्रमणाएवढी असते:

I = Σ mr²

मी = मी₁ r₁² + मी₂ r₂² + मी₃ r₃² + ….. + मी_n r_n²

सर्व कणांचे वस्तुमान = पातळ कड्याचे वस्तुमान (M)

मी = एम (आर₁² + आर₂² + आर₃² + ….. + आर_n²)

पातळ कड्याचा प्रत्येक कण परिभ्रमणाच्या अक्षापासून r अंतरावर आहे, जेणेकरून r₁ = आर₂ = आर₃ = आरएन = आर

पातळ कड्याच्या जडत्व परिबलाचे समीकरण:

मी = एमआर²

I = पातळ कड्याचा जडत्वाचा क्षण, M = पातळ कड्याचे वस्तुमान, R = पातळ कड्याची त्रिज्या.

जर परिभ्रमणाचा अक्ष कड्याच्या केंद्रावर नसेल तर काय? जर परिभ्रमणाचा अक्ष कड्याच्या केंद्रावर नसेल, तर वरील पद्धतीचा वापर करून पातळ कड्याच्या जडत्व परिबलाचे सूत्र काढता येणार नाही.

कारण प्रत्येक कणाचे परिभ्रमण अक्षापासूनचे अंतर वेगवेगळे असते. अशा समस्येसाठी जडत्व परिबलाचे सूत्र कसे मिळवायचे, याची चर्चा या विषयात केलेली नाही.

काही दृढ वस्तूंच्या जडत्व परिबलाचे सूत्र

३.४ एकजिनसी दृढ वस्तूच्या जडत्व परिबलाचे नमुना उदाहरण

नमुना समस्या १:

रॉड सिलेंडर AB ला B मधून फिरवल्यावर त्याचे वस्तुमान 3 किलो होते.

जडत्वाचा क्षण २७ किलोग्रॅम मीटर आहे²जर जडत्वाचा क्षण काय असेल तर

C मधून फिरवले?

उपाय:

उपाय:

एकसंध भरीव दांड्याच्या जडत्व परिबलाचे सूत्र (फिरण्याचा अक्ष दांड्याच्या केंद्रावर असतो):

I = 1/12 मिली²

२७ = (१/१२) एमएल²

(27)(12) = एमएल²

३२४ = एमएल²

एकसंध भरीव दांड्याच्या जडत्व परिबलाचे सूत्र (दांड्याच्या कडेवरील परिभ्रमण अक्ष):

I = 1/3 मिली²

I = 1/3 (324)

I = ५० किलोग्रॅम मीटर²