ऊर्जेच्या समविभाजनाचा प्रमेय

ऊर्जा समविभाजन प्रमेय क्लर्क मॅक्सवेल यांनी सांख्यिकीय यांत्रिकीचा वापर करून सैद्धांतिकरित्या मांडले. याला प्रमेय म्हटले जाते कारण प्रयोगाद्वारे याचा कोणताही पुरावा उपलब्ध नाही. ऊर्जा विभाजनाचा अर्थ ऊर्जेचे समान वितरण असा होतो.

KE = वायूच्या रेणूंची सरासरी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा (जूल)

k = बोल्ट्झमन स्थिरांक = 1.38 x 10 ^-23 जूल/केल्विन

T = आदर्श वायूच्या रेणूचे निरपेक्ष तापमान (केल्विन)

स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा ही स्थानांतरणीय गतीपासून मिळते, ज्यामध्ये वेगाचे तीन घटक असतात, म्हणजेच x-अक्ष, y-अक्ष आणि z-अक्षावरील वेगाचे घटक. या गतीचे तीन घटक असल्यामुळे, वरील समीकरणात ३ हा अंक आहे. गतीच्या प्रत्येक घटकाला स्वातंत्र्य कोटी (degree of freedom) म्हणतात. गतीचे तीन घटक असल्यामुळे, स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जेला ३ स्वातंत्र्य कोटी असतात.

ऊर्जा समविभाजन प्रमेयानुसार, वास्तविक ऊर्जा सर्व स्वातंत्र्य कोटींमध्ये समान रीतीने विभागली गेली पाहिजे. त्यामुळे, प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटीसाठी सरासरी ऊर्जा 1/2 kT असते.

एक अणू असलेले वायूचे रेणू

एकअणू वायूचे रेणू फक्त स्थानांतरण गती करतात, त्यामुळे एकअणू वायूच्या रेणूंना स्वातंत्र्याच्या ३ कोटी असतात.

प्रत्येक एकअणू वायू रेणूची सरासरी गतिज ऊर्जा आहे:

3 (1/2 kT) = 3/2 kT = 3/2 nRT.

एकअणू वायू रेणूंची उष्णता धारकता:

C = 3/2 R = 3/2 (8.315 J / mol. K) = 12.47 J/Kg. K

द्विअणू वायू रेणू

स्थानांतरण गती व्यतिरिक्त, द्विअण्वीय वायूचे रेणू परिभ्रमण आणि कंपन देखील करतात. स्थानांतरण गतीसाठी स्वातंत्र्य कोटींची संख्या = ३ आहे. परिभ्रमण गती आणि कंपनासाठी स्वातंत्र्य कोटी किती आहेत?

फिरण्याचे तीन अक्ष आहेत, म्हणजेच एक्स, वाय आणि झेड-अक्ष. एक्स-अक्षावरील फिरण्याची गती मोजली जात नाही कारण दोन्ही अणू फिरण्याच्या अक्षाशी जुळतात. एक्स-अक्षाशी संबंधित असताना, दोन्ही अणूंचा जडत्वाचा क्षण = ० असतो. त्यामुळे, फिरण्याच्या गतीसाठी स्वातंत्र्य अंशांची संख्या = २ असते.

प्रत्येक द्विअणू वायू रेणूची सरासरी ऊर्जा आहे:

3 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) = 5/2 kT = 5/2 n R T.

द्विअण्वीय वायू रेणूंची उष्णता धारकता:

C = 5/2 R = 5/2 (8.315 J / mol. K) = 20.79 J / Kg. K

सैद्धांतिकरित्या मिळवलेली आण्विक उष्णता क्षमता ही प्रयोगांद्वारे मिळवलेल्या द्विअणू वायू रेणूंच्या उष्णता क्षमतेपेक्षा जास्त असते.

कंपनात्मक गती करताना, द्विअण्वीय वायूच्या रेणूंमध्ये दोन प्रकारची ऊर्जा असते, म्हणजेच गतिज ऊर्जा आणि स्थितिज ऊर्जा. त्यामुळे, कंपनात्मक गतीसाठी स्वातंत्र्य अंशांची संख्या = 2.
प्रत्येक द्विअणू वायू रेणूची सरासरी ऊर्जा आहे:

3 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) + 2 (1/2 kT) = 7/2 kT = 7/2 n R T.

द्विअण्वीय वायू रेणूंची उष्णता धारकता:

C = 7/2 R = 7/2 (8,315 J / mol. K) = 29.1 J / Kg. K

द्विअण्वीय वायू रेणूंच्या उष्णता धारकतेच्या मूल्यावरील कंपनात्मक गतीचा परिणाम तापमानाच्या श्रेणीवर (T) देखील अवलंबून असतो. पूर्वी केलेले प्रयोग फार विस्तृत नसलेल्या तापमान श्रेणीत केले गेले आहेत. विस्तृत तापमान श्रेणीत केलेल्या अलीकडील प्रयोगांवरून असे दिसून येते की वायूच्या रेणूंच्या उष्णता धारकतेचे मूल्य देखील तापमान श्रेणीवर अवलंबून असते. ही समस्या अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, आपण वेगवेगळ्या तापमानांवर हायड्रोजन वायूच्या रेणूंच्या उष्णता धारकतेतील बदलाचा आढावा घेऊया.

हायड्रोजन (H₂)यात द्विअणू वायूचा समावेश आहे. बाजूची आकृती वेगवेगळ्या तापमानांवर हायड्रोजन वायूच्या रेणूंच्या उष्णता क्षमतेतील बदल दर्शवते. रेणूंच्या उष्णता क्षमतेचे मूल्य 5/2 R = 20.79 J/Kg. K हे केवळ सुमारे 250 K ते 750 K या तापमान श्रेणीत आढळते. 250 K च्या खाली, हायड्रोजन वायूच्या रेणूंची उष्णता क्षमता 3/2 R = 12.47 J/Kg. K पर्यंत पोहोचेपर्यंत नियमितपणे कमी होते. याउलट, 750 K च्या वर, वायूच्या रेणूंची उष्णता क्षमता 7/2 R = 29.1 J/Kg. K पर्यंत पोहोचेपर्यंत नियतकालिकरित्या वाढते.

या वस्तुस्थितीच्या आधारे आपण असे म्हणू शकतो की, कमी तापमानात वायूचे रेणू केवळ स्थानांतरण गती करतात. तापमान वाढल्यानंतर, नवीन वायूचे रेणू परिभ्रमण गती करतात. उच्च तापमानात, वायूचे रेणू एकमेकांशी टक्कर देतात, ज्यामुळे अणू कंप पावतात. म्हणून, या तीन प्रकारच्या गती टप्प्याटप्प्याने होतात: प्रथम केवळ स्थानांतरण गती (कमी तापमान), त्यानंतर स्थानांतरण + परिभ्रमण (मध्यम तापमान) आणि शेवटी स्थानांतरण + परिभ्रमण + कंपन (उच्च तापमान). वायूचे रेणू एकमेकांशी टक्कर दिल्यावरच कंपनाची गती निर्माण होते.

अशा घटना केवळ हायड्रोजन वायूच्या बाबतीतच नव्हे, तर इतर वायूंच्या बाबतीतही घडतात. शास्त्रज्ञांनी केलेल्या प्रयोगांनुसार, वायूच्या रेणूंची उष्णता धारकता देखील तापमानानुसार बदलते. होणारे बदल हे हायड्रोजन वायूमध्ये होणाऱ्या बदलांसारखेच असतात, परंतु प्रत्येक वायूची रचना वेगळी असल्यामुळे (अणूंची संख्या आणि प्रकार वेगवेगळे असल्यामुळे), उष्णता धारकतेतील बदल देखील वेगवेगळ्या तापमान श्रेणींमध्ये होतात.

उर्जेच्या समविभाजन प्रमेयानुसार, एकूण ऊर्जा प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटीमध्ये समान रीतीने विभागली गेली पाहिजे. वायूच्या रेणूंना मिळणारी अतिरिक्त ऊर्जा प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटीमध्ये समान रीतीने विभागली जात नाही, तर ती हळूहळू विभागली जाते. शिवाय, वायूच्या गतिज सिद्धांतावर आधारित, आपण सैद्धांतिकरित्या मिळवलेले वायूच्या आण्विक उष्णता क्षमतेचे समीकरण,

रेणूची उष्णता क्षमता केवळ R वर अवलंबून असते (प्रत्येक स्वातंत्र्य अंशासाठी 1/2 R) असे सांगते. रेणूच्या उष्णता क्षमतेवर तापमानाचा (T) देखील परिणाम होतो.

पहिला निष्कर्ष असा काढता येतो की, समविभाजन प्रमेय हे अभिजात सांख्यिकीय यांत्रिकीमधून आले आहे, जे न्यूटनच्या यांत्रिकीच्या नियमांवर आधारित आहे. दुसरा निष्कर्ष असा की, वायूच्या रेणूंच्या हालचाली स्पष्ट करण्यासाठी आपण वापरत असलेला वायूचा गतिज सिद्धांत देखील न्यूटनच्या यांत्रिकीच्या नियमांवर आधारित आहे. ऊर्जा समविभाजन प्रमेय आणि वायूचा गतिज सिद्धांत यांचे उल्लंघन होत असल्यामुळे, असा निष्कर्ष काढता येतो की न्यूटनचे यांत्रिकीचे नियम अणू किंवा रेणू पातळीवर होणाऱ्या हालचाली स्पष्ट करू शकत नाहीत. दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे झाल्यास, न्यूटनचे यांत्रिकी किंवा अभिजात यांत्रिकी केवळ मोठ्या पदार्थांच्या हालचालींचे वर्णन करू शकते.