फिरत्या गतीचे गतिकशास्त्र – समस्या आणि उपाय

फिरत्या गतीचे गतिकशास्त्र – समस्या आणि उपाय

१. कप्पी सोबत जडत्व च्या क्षण I = 2/5 MR² त्याचे वस्तुमान २ किलो आहे. जर बलाचा क्षण कप्पीवर 4 Nm बल असल्यास, कप्पीचे रेषीय त्वरण काय आहे? गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण g = 10 ms² आहे.^-2.

ज्ञात :

कप्पीची जडत्व परिभ्रमण (I) = 2/5 MR²

वस्तुमान पुलीचे वजन (M) = २ किलो

बलाची परिभ्रमण शक्ती (τ) = 4 Nm

गुरुत्वाकर्षणामुळे प्रवेग (g) = १० मी/से^-2

कप्पीची त्रिज्या (R) = 20 सेमी = 0.2 मीटर

पाहिजे आहे : रेषीय त्वरण (a)

उपाय:

कप्पीचा जडत्वाचा क्षण (I):

I = 2/5 MR² = 2/5 (2)(0.2)² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg m²

The कोनीय प्रवेग (α) :

τ = मी α

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s^-2

रेषीय त्वरण (a) :

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms^-2

पुलीच्या कडेचा रेषीय प्रवेग २५ मी/से आहे^-2.

२. कप्पीचे त्वरण २ मी/से आहे.^-2गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण g = 10 ms आहे.^-2कप्पीचा जडत्वाचा क्षण काय आहे?

ज्ञात :

कप्पीच्या कडेचा रेषीय प्रवेग (a) = 2 ms²^-2

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms²^-2

कप्पीची त्रिज्या (R) = 10 सेमी = 0.1 मीटर

वस्तूचे वजन (w) = mg = (4)(10) = 40 N

पाहिजे आहे : कप्पीचा जडत्वाचा क्षण

उपाय:

बलाची क्षणिक शक्ती (τ) :

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

कप्पीचे कोनीय त्वरण (α) :

a = R α

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s^-2

कप्पीचा जडत्वाचा क्षण (I):

τ = मी α

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg m²

३. कप्पीला १ मी/से² त्वरण मिळाले.^-2जर कप्पीची त्रिज्या 10 सेमी असेल, तर कप्पीचा जडत्वाचा क्षण किती आहे?

ज्ञात :

कप्पीच्या कडेचा रेषीय प्रवेग (a) = 1 ms²^-2

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms²^-2

कप्पीची त्रिज्या (R) = 10 सेमी = 0.1 मीटर

बल (F) = 4 N

पाहिजे आहे : कप्पीचा जडत्वाचा क्षण

उपाय:

बलाची क्षणिक शक्ती (τ) :

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

कप्पीचे कोनीय त्वरण (α) :

a = R α

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s^-2

कप्पीचा जडत्वाचा क्षण (I):

τ = मी α

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m²

1. रेषीय गतीमधील वस्तुमानाचे परिभ्रमणात्मक समतुल्य काय आहे?
   • उत्तर: रेषीय गतीमधील वस्तुमानाचे परिभ्रमणात्मक समतुल्य म्हणजे जडत्व परिबल, जे अनेकदा असे दर्शविले जाते $I$.
2. परिवलन गतीशी टॉर्कचा संबंध कसा असतो, आणि रेषीय गतीमधील बलाशी त्याची तुलना कशी केली जाते?
   • उत्तर: टॉर्क हे बलाचे घूर्णनात्मक समतुल्य आहे. बलामुळे वस्तूंमध्ये रेषीय त्वरण निर्माण होते, तर टॉर्कमुळे फिरणाऱ्या वस्तूंमध्ये कोनीय त्वरण निर्माण होते. लावलेले बल आणि फिरण्याच्या अक्षापासून बल लावण्याच्या बिंदूपर्यंतचे लंब अंतर यांच्या गुणाकाराने टॉर्कची गणना केली जाते.
3. कोनीय त्वरण, टॉर्क आणि जडत्वाचा क्षण यांच्यामध्ये काय संबंध आहे?
   • उत्तर: परिभ्रमणासाठी न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार हे संबंध दिले जातात: $\tau =I\alpha$, जेथे $\tau$ टॉर्क आहे, $I$ जडत्वाचा क्षण आहे, आणि $\alpha$ कोनीय त्वरण आहे.
4. फिरणाऱ्या वस्तूचा जडत्वाचा क्षण वाढत असताना आणि बाह्य टॉर्क स्थिर राहिल्यास, कोनीय त्वरणाचे काय होते?
   • उत्तर: जर जडत्वाचा क्षण वाढला आणि बाह्य टॉर्क स्थिर राहिला, तर कोनीय त्वरण कमी होईल.
5. रेषीय आणि परिवलन गतीमध्ये रेषीय संवेग आणि कोणीय संवेग यांच्या संकल्पना कशा अनुरूप आहेत?
   • उत्तर: रेषीय संवेग (याद्वारे दिलेला) $p=mv$, जेथे $m$ वस्तुमान आहे आणि $v$ वेग) हा वस्तुमान आणि रेषीय वेग यांचा गुणाकार असतो, तर कोणीय संवेग (जो या सूत्राने दिला जातो) $L=I\omega$, जेथे $I$ जडत्वाचा क्षण आहे आणि $\omega$ कोनीय वेग) हा जडत्वाचा क्षण आणि कोनीय वेग यांचा गुणाकार असतो.
6. कोनीय संवेगाच्या अक्षय्यतेचा अर्थ काय आहे?
   • उत्तर: कोनीय संवेगाच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, बाह्य टॉर्कच्या अनुपस्थितीत, बंद प्रणालीचा एकूण कोनीय संवेग स्थिर राहतो.
7. फिरताना हात आत घेतल्यावर फिगर स्केटर्स अधिक वेगाने का फिरतात?
   • उत्तर: जेव्हा फिगर स्केटर्स आपले हात आत घेतात, तेव्हा ते त्यांचा जडत्वाचा क्षण कमी करतात. कोनीय संवेगाच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, जेव्हा जडत्वाचा क्षण कमी होतो, तेव्हा कोनीय संवेग स्थिर ठेवण्यासाठी कोनीय वेग (किंवा फिरण्याचा दर) वाढलाच पाहिजे.
8. एखाद्या वस्तूच्या परिभ्रमण गतिज ऊर्जेची तुलना तिच्या रेषीय गतिज ऊर्जेशी कशी केली जाते?
   • उत्तर: फिरती गतीज ऊर्जा (१/२ ने दिलेली) ​Iω²) हे रेषीय गतिज ऊर्जेच्या (जी 1/2 ने दिली जाते) सदृश आहे ​mv²पहिले वस्तूच्या परिवलनाशी, तर दुसरे तिच्या रेषीय गतीशी संबंधित आहे.
9. एखाद्या वस्तूमध्ये एकाच वेळी परिवलन ऊर्जा आणि रेषीय गतीज ऊर्जा दोन्ही असू शकतात का?
   • उत्तर: होय, एखाद्या वस्तूमध्ये परिभ्रमण गतिज ऊर्जा आणि रेषीय गतिज ऊर्जा दोन्ही असू शकतात. उदाहरणार्थ, घरंगळणाऱ्या चाकामध्ये त्याच्या फिरण्यामुळे परिभ्रमण गतिज ऊर्जा आणि त्याच्या पुढच्या गतीमुळे रेषीय गतिज ऊर्जा असते.
10. फिरणाऱ्या चाकाचा कोनीय वेग स्थिर ठेवून त्याची त्रिज्या दुप्पट केल्यास, त्याच्या जडत्वाच्या परिबलात काय बदल होतो?

• उत्तर: एका भरीव चकतीचा जडत्वाचा क्षण 1/2 ने दिला जातो. ​mr², जेथे $m$ वस्तुमान आहे आणि $r$ त्रिज्या आहे. जर त्रिज्या दुप्पट झाली आणि वस्तुमान स्थिर राहिले, तर जडत्वाचा क्षण चार पटीने वाढेल.