कप्पीवरून दोरीने जोडलेल्या वस्तूची गतिकी: अॅटवुड यंत्र – समस्या आणि उपाय

१०. कप्पीवरून दोरीने जोडलेल्या वस्तूची गतिकी: अॅटवुड यंत्र – समस्या आणि उपाय

१. ५ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा ठोकळा A एका सपाट क्षैतिज पातळीवर ठेवलेला आहे. ३ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा ठोकळा B, जो एका कप्पीवरून ठोकळा A ला जोडलेल्या दोरीच्या एका टोकाला लटकलेला आहे. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² आहे ^. दोन्ही ठोकळ्यांचे त्वरण किती आहे ?

ज्ञात :

ब्लॉक A चे वस्तुमान (मी)_A) = ४ किलो

ब्लॉक B चे वस्तुमान (m _B ) = ३ किलो

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक B चे वजन (w _B ) = m _B g = (3)(10) = 30 न्यूटन

अपेक्षित: दोन्ही ब्लॉक्सचे प्रवेग (अ)

उपाय:

क्षैतिज पृष्ठभाग गुळगुळीत असल्यामुळे घर्षण बल नाही. दोन्ही ठोकळ्यांना गती देणारे बल हे ठोकळा B चे वजन आहे.

ΣF = ma

w _B = (m _A + m _B ) a

३० = (५ + ३) अ

४८० = २४० अ

अ = २० / १०

a = 3.75 m/ ^s²

2.

वरील आकृतीच्या आधारे,

(1) वस्तूचे त्वरण = 0

(2) वस्तू स्थिर वेगाने फिरते

(3) स्थिर वस्तू

(4) जर वस्तूचे वजन तिला खेचणाऱ्या बलापेक्षा कमी असेल तर वस्तू हलते.

उपाय:

(1) वस्तूचे त्वरण = 0.

निव्वळ बल :

∑ F = ma –> त्वरण (a) = 0

∑ F = 0

F ₁ + F ₂ – F ₃ = 12 + 24 – 36 = 36 – 36 = 0 N

(2) वस्तू स्थिर वेगाने फिरते

त्वरण नसणे म्हणजे वस्तू स्थिर आहे किंवा स्थिर वेगाने गतिमान आहे.

(3) स्थिर वस्तू

निव्वळ बल नसल्यास वस्तू स्थिर असते.

(4) जर वस्तूचे वजन तिला खेचणाऱ्या बलापेक्षा कमी असेल तर वस्तू हलते.

वजन उभ्या दिशेने कार्य करते, तर खेचण्याचे बल आडव्या दिशेने कार्य करते.

वस्तू आडव्या दिशेने सरकते, त्यामुळे वस्तूवर फक्त आडवी बलेच कार्य करतात.

3. जर ब्लॉक A आणि टेबलाच्या पृष्ठभागामधील गतिज घर्षण गुणांक 0.1 असेल आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/s² असेल, तर ब्लॉक A वर किती बल कार्य करेल जेणेकरून ही प्रणाली डावीकडे 2 m/s² त्वरणाने ^{सरकेल}?

ज्ञात :

ब्लॉक A चे वस्तुमान (मी)_A) = ४ किलो

ब्लॉक A चे वजन (w _A ) = (30 kg)(10 m/s ² ) = 300 kg m/s ² किंवा 300 न्यूटन

ब्लॉक B चे वस्तुमान (m _B ) = ३ किलो

ब्लॉक B चे वजन (w _B ) = (20 kg)(10 m/s ² ) = 200 kg m/s ² किंवा 200 न्यूटन

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

_गतिज घर्षण गुणांक ( μk ) = 0.1

प्रणालीचे त्वरण (अ) = 2 मी/से² ⁽ डावीकडे)

गतिज घर्षण बल (f _k ) = μ _k N = μ _k w _A = (0.1)(300) = 30 न्यूटन

हवे आहे : बल F चे परिमाण

उपाय:

न्यूटनचा दुसरा नियम:

ΣF = ma

वस्तू A डावीकडे सरकते :

F – f _k – w _B = (m _A + m _B ) a

F – 30 – 200 = (30 + 20)(2)

F – 230 = (50)(2)

F – 230 = 100

F = 230 + 100

F = ४० न्यूटन

४. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, A = २ किलोग्रॅम आणि B = ६ किलोग्रॅम वजनाच्या दोन वस्तू एका कप्पीवरून जाणाऱ्या दोरीच्या एका टोकाला जोडलेल्या आहेत. जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² असेल, ^तर B वस्तूचे त्वरण किती असेल?

ज्ञात :

वस्तू A चे वस्तुमान (मी)_A) = २ किलोग्रॅम, मीटर_B = २ किलोग्रॅम, g = १० मीटर/सेकंद²

वस्तू A चे वजन (w _A ) = (m _A )(g) = (2)(10) = 20 N

वस्तू B चे वजन (w _B ) = (m _B )(g) = (6)(10) = 60 N

वस्तू b चे त्वरण (प्रणालीचे त्वरण) हवे आहे .

उपाय:

w _B > w _A असल्यामुळे वस्तू B खाली सरकते आणि वस्तू A वर सरकते.

ΣF = ma

w _B – w _A = (m _A + m _B ) a

६० – २० = (६ + २) अ

४० = (५) अ

a = 5 m/ ^s²

5. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, दोन वस्तू एका गुळगुळीत कप्पीवरून दोरीने जोडलेल्या आहेत. जर m ₁ = 1 kg, m ₂ = 2 kg, आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 ms ^-2 असेल , तर ताण बल T किती आहे?

ज्ञात :

वस्तू १ चे वस्तुमान (मी)₁) = ४ किलो

वस्तू २ चे वस्तुमान (m ₂ ) = २ किलोग्रॅम

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वस्तू 1 चे वजन (w ₁ ) = m ₁ g = (1 kg)(10 m/s ² ) = 10 kg m/s ² किंवा 10 न्यूटन

वस्तू २ चे वजन (w ₂ ) = m ₂ g = (2 kg)(10 m/s ² ) = 20 kg m/s ² किंवा 20 न्यूटन

अपेक्षित आहे : तणाव बल (T) ?

उपाय:

w ₂ > w ₁ म्हणून m ₂ खाली सरकतो , m ₁ वर सरकतो.

न्यूटनचा गतीचा दुसरा नियम :

ΣF = ma

w ₂ – w ₁ = (m ₁ + m ₂ ) a

३० – २० = (२ + ३) अ

४० = (५) अ

a = 3.3 m/ ^s²

प्रणालीचे त्वरण = 3.3 m/s²^.

m ₂ खाली सरकतो :

w ₂ – T ₂ = m ₂ a

20 – T ₂ = (2)(3.33)

३० – टी _२ = ६

टी _२ = ३० – ६

टी _१ = २४ न्यूटन

m ₁ वरच्या दिशेने सरकतो :

T ₁ – w ₁ = m ₁ a

T ₁ – 10 = (1)(3.3)

टी _१ – २० = ४

T ₁ = 10 + 3.33

टी _१ = २४ न्यूटन

ताण बल (T) = 13.3 न्यूटन.

_{6. m1} चे वस्तुमान = 6 kg आणि m2 चे वस्तुमान ₌ 4 kg. क्षैतिज पृष्ठभाग गुळगुळीत आहे. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/s² आहे ^. प्रणालीचे त्वरण किती आहे?

ज्ञात :

वस्तुमान एम₁ = 6 किलो

_{m 2} चे वस्तुमान = 4 किलो

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वजन w ₁ = m ₁ g = (6 kg)(10 m/s ² ) = 60 kg m/s ² किंवा 60 न्यूटन

वजन w ₂ = m ₂ g = (4 kg)(10 m/s ² ) = 40 kg m/s ² किंवा 40 न्यूटन

सिस्टमचे प्रवेग (a) हवे आहे

उपाय:

m ₁ एका गुळगुळीत क्षैतिज पातळीवर घर्षणाशिवाय ठेवा जेणेकरून ब्लॉक 2 च्या वजनाने प्रणालीला गती मिळेल.

न्यूटनचा दुसरा नियम लागू करा:

∑ F = ma

w ₂ = (m ₁ + m ₂ ) a

४० न्यूटन = (६ किलोग्रॅम + ४ किलोग्रॅम) अ

४० न्यूटन = (१० किलोग्रॅम) अ

a = ४० न्यूटन / १० किलोग्रॅम

a = 4 m/ ^s²

७. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, प्रत्येक २ किलो वस्तुमानाचे दोन ठोकळे एका कप्पीवरून दोरीने जोडलेले आहेत. क्षैतिज प्रतल आणि कप्पी गुळगुळीत आहेत. जर ठोकळा B ला ४० न्यूटनच्या क्षैतिज बलाने ओढले, तर ठोकळा B चे त्वरण किती असेल? गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² ^आहे.

ज्ञात :

ब्लॉक A चे वस्तुमान (मी_A) = ब्लॉक B चे वस्तुमान (मीटर_B) = ४ किलो

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

F = ४० N बल

वस्तू A चे वजन (w _A ) = mg = (2)(10) = 20 N

सिस्टमचे त्वरण (a) हवे आहे ?

उपाय:

न्यूटनचा दुसरा नियम लागू करा:

∑ F = ma

F – w _A = (m _A + m _B ) a

६० – २० = (६ + २) अ

४० = (५) अ

अ = २० / १०

a = 5 m/ ^s²

८. ब्लॉक A चे वस्तुमान = २ किलोग्रॅम आणि ब्लॉक B चे वस्तुमान = १ किलोग्रॅम. ब्लॉक B सुरुवातीला स्थिर आहे, नंतर जमिनीवर आदळेपर्यंत त्याला खालील दिशेने प्रवेग दिला जातो. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारा प्रवेग १० मी/से² आहे ^. ताण बलाचे परिमाण किती आहे?

ज्ञात :

ब्लॉक A चे वस्तुमान (मी)_A) = ४ किलो

ब्लॉक B चे वस्तुमान (m _B ) = ३ किलो

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक B चे वजन (w _B ) = m _B g = (1)(10) = 10 न्यूटन

हवे आहे : ताण बलाचे परिमाण (T)

उपाय:

घर्षण बलाकडे दुर्लक्ष करा.

प्रणालीचे त्वरण (अ)

∑ F = ma

w _B = (m _A + m _B ) a

३० = (५ + ३) अ

४८० = २४० अ

अ = ४८०/२४०

तणाव बल (T)

ब्लॉक A वरील ताण बल :

∑ F = ma

T = m _A a = (2)(10/3) = 20/3 = 6.7 न्यूटन

ब्लॉक B वरील ताण बल :

∑ F = ma

w _B – T = m _B a

10 – T = (1)(10/3)

१० – टी = ३.३

T = 10 – 3.3 = 6.7 न्यूटन

ताण बल (T) = ६.७ न्यूटन

९. ठोकळा A चे वस्तुमान = २ किलोग्रॅम आणि ठोकळा B चे वस्तुमान = १ किलोग्रॅम. वस्तू A आणि क्षैतिज प्रतल यांच्यातील घर्षण बल = २.५ न्यूटन. कप्पी आणि दोरीवरील घर्षणाकडे दुर्लक्ष करा. दोन्ही ठोकळ्यांचा त्वरण किती आहे?

ज्ञात :

ब्लॉक A चे वस्तुमान (मी)_A) = ४ किलो

ब्लॉक B चे वस्तुमान (m _B ) = ३ किलो

लॉक 'अ' आणि क्षैतिज प्रतल यांच्यातील घर्षण बल (f _kA ) = २.५ न्यूटन

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉकचे वजन (w _B ) = m _B g = (1)(10) = 10 न्यूटन

अपेक्षित आहे : दोन्ही ब्लॉक्सचे प्रवेग (अ)

उपाय:

न्यूटनचा दुसरा नियम लागू करा:

∑ F = ma

w _B – f _k = (m _A + m _B ) a

६० – २० = (६ + २) अ

४८० = २४० अ

अ = २० / १०

a = 2.5 m/ ^s²

१०. ब्लॉक 'a' चे वस्तुमान ३० किलो असून तो एका क्षैतिज प्रतलावर स्थिर आहे, जो कप्पीद्वारे १० किलो वस्तुमानाच्या ब्लॉक 'B' शी जोडलेला आहे. प्रणालीचे त्वरण किती आहे? गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० ms⁻² ^आहे.

ज्ञात :

ब्लॉक A चे वस्तुमान (मी)_A) = ४ किलो

ब्लॉक B चे वस्तुमान (m _B ) = ३ किलो

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक B चे वजन (w _B ) = m _B g = (10)(10) = 100 न्यूटन

सिस्टमचे प्रवेग (a) हवे आहे

उपाय:

∑ F = ma

w _B = (m _A + m _B ) a

३० = (५ + ३) अ

४८० = २४० अ

अ = २० / १०

a = 2.5 m/ ^s²