वर्तुळाकार गती – समस्या आणि उपाय

वर्तुळाकार गती – समस्या आणि उपाय

१. १० किलोग्रॅम वजनाची एक वस्तू ४ मीटर/सेकंद या स्थिर गतीने वर्तुळात फिरते. जर वर्तुळाची त्रिज्या ०.५ मीटर असेल, तर :

१) वर्तुळांची वारंवारता ४/π हर्ट्झ आहे

2) केंद्राभिमुख प्रवेग ३२ एमएस आहे^-2

3) केंद्राभिमुख शक्ती ३२० N आहे

4) आवर्तकाल 4π सेकंद आहे.

कोणती विधाने सत्य आहेत?

ज्ञात :

वस्तुमान वस्तूचे वजन (मीटर) = १० किलो

The रेषीय वेग (v) = 4 m/s

वर्तुळाची त्रिज्या (r) = ०.५ मीटर

उपाय:

१) वर्तुळाची वारंवारता

v = 2 π rf

4 = 2 π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π हर्ट्झ

२) अभिकेंद्री त्वरण

a_s = वि² / आर = २०² / ५० = ४०० / ५० = ८ मी/से²

३) अभिकेंद्री बल

F = ma_s = (10)(32) = 320 N

४) कालावधी

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

२. एक वस्तू ६ मीटर त्रिज्येच्या वर्तुळात फिरते. जर ती वस्तू २ मिनिटांत १६ फेऱ्या पूर्ण करत असेल, तर त्या वस्तूचा रेषीय वेग किती आहे?

ज्ञात :

त्रिज्या (r) = १५० मीटर

कोनीय वेग (ω) = 16 फेऱ्या / 2 मिनिटे = 8 फेऱ्या / मिनिटे = 8 फेऱ्या / 60 सेकंद = 0.13 फेऱ्या/सेकंद.

पाहिजे: रेषीय वेग (v)?

उपाय:

v = r ω = (6 मीटर)(0.13 प्रदक्षिणा/सेकंद) = 0.8 मीटर/सेकंद

रेडियनमध्ये :

१ प्रदक्षिणा = २π रेडियन = २(३.१४) = ६.२८ रेडियन

कोनीय वेग = 8 (6.28) रेडियन / 60 सेकंद = 50.24 रेडियन / 60 सेकंद = 0.84 रेडियन/सेकंद

v = r ω = (6 मीटर)(0.84 रेडियन/सेकंद) = 5.04 रेडियन/सेकंद.

३. २०/π सेमी त्रिज्या असलेली एक वस्तू १ सेकंदात ४ वेळा फिरते. त्या वस्तूच्या कडेचा रेषीय वेग किती आहे?

ज्ञात :

त्रिज्या (r) = 20/π सेमी = 20 / 3.14 सेमी = 6.4 सेमी = 0.064 मीटर

कोनीय वेग (ω) = 4 प्रदक्षिणा / 1 सेकंद = 4 प्रदक्षिणा / सेकंद.

१ प्रदक्षिणा = (२)(३.१४) रेडियन = ६.२८ रेडियन

कोनीय वेग (ω) = (4)(6.28) रेडियन/सेकंद = 25.12 रेडियन/सेकंद

पाहिजे आहे : वस्तूच्या कडेचा रेषीय वेग (v)

उपाय:

v = r ω = (०.०६४ मीटर)(२५.१२ रेडियन/सेकंद) = १.६ मीटर/सेकंद

४. एखादी वस्तू स्थिर गतीने वर्तुळात फिरत असल्यास, त्या वस्तूचा रेषीय वेग यावर अवलंबून असतो…

उपाय:

वर्तुळाकार गतीच्या रेषीय वेगाचे समीकरण:

v = रेषीय वेग

d = 2πr = परिघ

T = आवर्तकाल = एक पूर्ण प्रदक्षिणा करण्यासाठी लागणारा वेळ.

५. एक वस्तू ५० मीटर त्रिज्येच्या वर्तुळात फिरते. जर वस्तूचा कोनीय वेग १२० आरपीएम असेल, तर वेळेचा कालावधी आणि वस्तूचा रेषीय वेग काय आहे?

ज्ञात :

त्रिज्या (r) = ५० सेमी = ०.५ मीटर

कोनीय वेग (ω) = 120 rpm = 120 फेऱ्या / 1 मिनिट = 120 फेऱ्या / 60 मिनिटे = 2 फेऱ्या / 1 सेकंद

१ प्रदक्षिणा = २π रेडियन

कोनीय वेग (ω) = 2 (2π रेडियन) / 1 सेकंद = 4π रेडियन/सेकंद

पाहिजे आहे : वेळेचा कालावधी (T) आणि रेषीय वेग (v)

उपाय:

कालावधी (T) :

आवर्तकाल म्हणजे एक पूर्ण प्रदक्षिणा करण्यासाठी लागणारा वेळ.

एक वस्तू 1 सेकंदात दोन फेऱ्या फिरते = 0.5 सेकंदाला 1 फेरी. आवर्तकाल = 0.5 सेकंद.

रेषीय वेग (v) :

v = r ω = (0.5 मीटर)(4π रेडियन/सेकंद) = 2π मीटर/सेकंद.

1. वर्तुळाकार गतीमध्ये स्पर्शरेषीय वेग आणि कोणीय वेग यांच्यात काय फरक आहे?

   उत्तरस्पर्शरेषीय वेग म्हणजे फिरणाऱ्या वस्तूवरील एका बिंदूचा रेषीय वेग असून, तो बिंदू त्याच्या वर्तुळाकार मार्गावर किती वेगाने फिरत आहे हे दर्शवतो. याउलट, कोनीय वेग म्हणजे वस्तू फिरत असताना कोन किती वेगाने बदलतो हे होय. स्पर्शरेषीय वेग सामान्यतः मीटर प्रति सेकंद (m/s) मध्ये मोजला जातो, तर कोनीय वेग सहसा रेडियन प्रति सेकंद (rad/s) मध्ये मोजला जातो.

2. अभिकेंद्री त्वरण म्हणजे काय आणि त्याचा वर्तुळाकार गतीशी काय संबंध आहे?

   उत्तरअभिकेंद्री त्वरण म्हणजे वर्तुळाकार मार्गावर फिरणाऱ्या वस्तूवर अनुभवले जाणारे त्वरण. ते नेहमी वर्तुळाच्या केंद्राकडे निर्देशित असते आणि वस्तूला तिच्या वर्तुळाकार मार्गावर ठेवण्यासाठी जबाबदार असते. अभिकेंद्री त्वरणाचे सूत्र आहे a_c​=v²/r​ जेथे $v$ स्पर्शरेषीय वेग आहे आणि $r$ वर्तुळाची त्रिज्या आहे.
3. एकसमान वर्तुळाकार गतीमध्ये असलेल्या वस्तूचा वेग स्थिर असला तरीही तिला त्वरण का असते?

   उत्तरएकसमान वर्तुळाकार गतीमध्ये वेगाचे परिमाण (किंवा आकार) स्थिर राहत असले तरी, वेगाची दिशा बदलते. त्वरण म्हणजे वेगातील बदल अशी व्याख्या केली जात असल्यामुळे आणि वेग ही परिमाण व दिशा दोन्ही असलेली एक सदिश राशी असल्यामुळे, दिशेतील कोणताही बदल म्हणजे त्वरण होय. या प्रकरणात, ते अभिकेंद्री त्वरण आहे.

4. वर्तुळाकार गती टिकवून ठेवण्यासाठी आवश्यक असलेले बल हे वस्तूचे वस्तुमान आणि वर्तुळाची त्रिज्या यांच्याशी कसे संबंधित असते?

   उत्तरवर्तुळाकार गती टिकवून ठेवण्यासाठी आवश्यक असलेले बल अभिकेंद्री बलाच्या सूत्रानुसार दिले जाते: F_c​=m×a_c​=m×v²/r​समीकरणावरून असे दिसून येते की, आवश्यक बल हे वस्तूच्या वस्तुमानाशी समप्रमाणात आणि वर्तुळाच्या त्रिज्येशी व्यस्तप्रमाणात असते.

5. जेव्हा एखादी गाडी तीव्र वळण घेते (उदा. गोल चौकात), तेव्हा तुम्हाला बाहेरच्या दिशेने ढकलल्यासारखे का वाटते?

   उत्तरहे 'काल्पनिक' अपकेंद्री बलामुळे होते, जे वर्तुळाकार मार्गावर फिरणाऱ्या वस्तूवर बाहेरच्या दिशेने कार्य करणारे एक भासमान बल आहे. हे ढकलण्याच्या किंवा ओढण्याच्या अर्थाने खरे बल नसून, जडत्वाचा एक परिणाम आहे. तुमच्या शरीराला सरळ रेषेत जायचे असते (न्यूटनचा पहिला नियम), परंतु गाडीच्या भिंती किंवा सीटबेल्ट तुम्हाला वर्तुळात फिरवत ठेवण्यासाठी बल लावतात. यामुळे बाहेरच्या दिशेने ढकलले जात असल्याची जाणीव होते.

6. वर्तुळाकार गतीमध्ये, विशेषतः जेव्हा गाडी रस्त्यावर वळत असते, तेव्हा घर्षणाची भूमिका काय असते?

   उत्तरटायर आणि रस्त्यामधील घर्षणामुळे गाडीला वळण्यासाठी आवश्यक असलेले अभिकेंद्री बल मिळते. पुरेसे घर्षण नसल्यास, गाडी घसरेल आणि तिच्या इच्छित वर्तुळाकार मार्गावरून जाऊ शकणार नाही.

7. जर वर्तुळाकार मार्गाची त्रिज्या निम्मी केली पण वेग तोच राहिला, तर अभिकेंद्री बलात काय बदल होतो?

   उत्तरजर त्रिज्या निम्मी केली आणि वेग तोच राहिला, तर अभिकेंद्री बल दुप्पट होईल, कारण अभिकेंद्री बल त्रिज्येच्या व्यस्त प्रमाणात असते.

8. वर्तुळाकार गतीमध्ये अभिकेंद्री बलाशिवाय अपकेंद्री बल का असू शकत नाही?

   उत्तरअपकेंद्री बल हे फिरणाऱ्या संदर्भ चौकटीत अनुभवले जाणारे एक प्रतिक्रियात्मक किंवा 'काल्पनिक' बल आहे. ते वस्तूंना फिरण्याच्या केंद्रापासून बाहेरच्या दिशेने ढकलत असल्याचे दिसते. तथापि, एखाद्या वस्तूला वर्तुळाकार मार्गावर फिरण्यासाठी, केंद्राच्या दिशेने एक वास्तविक बल कार्यरत असणे आवश्यक आहे, जे अभिकेंद्री बल आहे. अभिकेंद्री बलाशिवाय, मुळातच वर्तुळाकार गती अस्तित्वात येणार नाही आणि म्हणूनच, अपकेंद्री बलाची जाणीवही होणार नाही.

9. पृथ्वी आणि चंद्र यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण बल चंद्राच्या वर्तुळाकार कक्षेसाठी कसे जबाबदार आहे?

   उत्तरपृथ्वी आणि चंद्र यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण बल हे अभिकेंद्री बल म्हणून कार्य करते, जे चंद्राला पृथ्वीभोवतीच्या त्याच्या कक्षेत ठेवते. या गुरुत्वाकर्षणाशिवाय, चंद्र त्याच्या वर्तुळाकार (किंवा अधिक अचूकपणे, लंबवर्तुळाकार) कक्षेऐवजी सरळ रेषेत फिरला असता.

10. जर चेंडूला बांधलेली दोरी, चेंडूला त्याच गतीने वर्तुळात फिरवताना निम्मी केली, तर दोरीतील ताणात काय बदल होईल?

उत्तरजर वेग स्थिर ठेवून दोरीची लांबी (जी वर्तुळाकार मार्गाच्या त्रिज्येइतकी असते) निम्मी केली, तर आवश्यक अभिकेंद्री बल (आणि त्यामुळे दोरीतील ताण) दुप्पट होईल. याचे कारण असे की, अभिकेंद्री बल (आणि या परिस्थितीत कमी-अधिक प्रमाणात ताण) हे त्रिज्येच्या व्यस्त प्रमाणात असते.