जडत्वाचा क्षण

जडत्वाचा क्षण पदार्थ

दोन वस्तू आहेत, त्यापैकी एकाचे वस्तुमान कमी आहे आणि दुसऱ्याचे वस्तुमान जास्त आहे. समान बलाने ढकलल्यास कोणती वस्तू हलवणे सोपे आहे? वस्तुस्थिती दर्शवते की जास्त वस्तुमानाच्या वस्तूंपेक्षा कमी वस्तुमानाच्या वस्तू हलवणे सोपे असते. म्हणून, बल लावल्यास वस्तूच्या वस्तुमानावरून तिच्या प्रवेगाचे प्रमाण ठरते. जर सरळ गतीमध्ये, वस्तू हलवणे सोपे आहे की कठीण (प्रवेगित करणे कठीण) हे तिच्या वस्तुमानावरून ठरत असेल, तर परिभ्रमण गतीमध्ये, वस्तू हलवणे सोपे आहे की कठीण हे तिच्या जडत्वाच्या क्षणावरून ठरते.

पार्टिकल
फिरणाऱ्या कणाचा विचार करा. m वस्तुमानाच्या कणाला F बल दिले जाते, ज्यामुळे तो कण फिरण्याच्या अक्षाभोवती (O) फिरतो. कण फिरण्याच्या अक्षापासून r अंतरावर आहे. सुरुवातीला कण स्थिर असतो (v = 0). F बलाने गती दिल्यानंतर, कण एका विशिष्ट वेगाने फिरतो, ज्यामुळे त्याला स्पर्शरेषीय त्वरण (a tan) मिळते.
एखाद्या कणावरील बल (F), वस्तुमान (m) आणि स्पर्शरेषीय त्वरण (a tan) यांच्यातील संबंध खालील समीकरणाने व्यक्त केला जातो:
कण फिरतो, ज्यामुळे त्याला कोनीय त्वरण प्राप्त होते. स्पर्शरेषीय त्वरण आणि कोनीय त्वरण यांच्यातील संबंध खालील समीकरणाने दर्शविला जातो:
समीकरण 3 मधील स्पर्शरेषीय त्वरण (a tan) च्या जागी समीकरण 4 मधील स्पर्शरेषीय त्वरण (a tan) ठेवा.
डाव्या आणि उजव्या बाजूंना r ने गुणा:
r F हे बलाचे परिबल आहे आणि mr² कण I चा जडत्वाचा क्षण आहे). समीकरण ५ फिरणाऱ्या कणाच्या बलाचा क्षण, जडत्वाचा क्षण आणि कोनीय त्वरण यांच्यातील संबंध दर्शवते. समीकरण ५ हे फिरणाऱ्या कणासाठी न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचे समीकरण आहे.
I हे कणाचे वस्तुमान (m) आणि फिरण्याच्या अक्षापासून कणाच्या अंतराचा वर्ग (r) यांचा गुणाकार आहे.²).
माहिती :
I = कणाचा जडत्वाचा क्षण, m = कणाचे वस्तुमान, r = कण आणि परिभ्रमणाच्या अक्षामधील अंतर
फिरणाऱ्या कणाचा जडत्वाचा क्षण निश्चित करण्यासाठी समीकरण 6 वापरले जाते.
जेणेकरून तुम्हाला कणांच्या जडत्वाच्या क्षणासंबंधीचा आढावा अधिक चांगल्या प्रकारे समजू शकेल, कृपया कणांच्या जडत्व परिबलाच्या समस्यांची उदाहरणे अभ्यासा.

एकसंध कठीण वस्तू
एक दृढ वस्तू ही त्या वस्तूमध्ये सर्वत्र पसरलेल्या अनेक कणांनी बनलेली असते. दृढ वस्तूची क्षणिक शक्ती ही त्या दृढ वस्तूला बनवणाऱ्या प्रत्येक कणाच्या सर्व क्षणिक शक्तींची बेरीज असते.
एखाद्या दृढ वस्तूचा क्षण निर्धारित करण्यासाठी, ती वस्तू फिरत असताना तिचे निरीक्षण केले जाते, कारण परिभ्रमण अक्षाच्या स्थानाचा क्षणाच्या मूल्यावर परिणाम होतो. परिभ्रमण अक्षाच्या स्थानावर अवलंबून असण्याव्यतिरिक्त, कणाचा क्षण हा कणाच्या वस्तुमानावर (m) आणि परिभ्रमण अक्षापासून कणाच्या अंतराच्या वर्गावर (r) देखील अवलंबून असतो.²एखादी वस्तू बनवणाऱ्या सर्व कणांचे वस्तुमान हे त्या वस्तूच्या वस्तुमानाइतकेच असते. समस्या ही आहे की, प्रत्येक कणाचे परिभ्रमण अक्षापासूनचे अंतर बदलते.
R त्रिज्या आणि M वस्तुमान असलेल्या एका पातळ कड्यासाठी सूत्राची व्युत्पत्ती विचारात घ्या. जर परिभ्रमणाचा अक्ष कड्याच्या केंद्रावर असेल, तर कड्याची रचना करणारे सर्व कण परिभ्रमणाच्या अक्षापासून r अंतरावर असतात. पातळ कड्याचे बल हे कड्याची रचना करणाऱ्या सर्व कणांच्या बल-घूर्णांच्या बेरजेइतके असते.
पातळ कडी बनवणारा प्रत्येक कण परिभ्रमणाच्या अक्षापासून r अंतरावर आहे, जेणेकरून r₁ = आर₂ = आर₃ = r = R.
पातळ अंगठी बनवण्याचे सूत्र:
मी = एमआर²
माहिती :
I = पातळ कड्याचा जडत्वाचा क्षण, M = पातळ कड्याचे वस्तुमान, R = पातळ कड्याची त्रिज्या
जर फिरण्याचा अक्ष कड्याच्या मध्यभागी नसेल तर काय? जर फिरण्याचा अक्ष कड्याच्या मध्यभागी नसेल, तर वरील पद्धत वापरून पातळ कड्याचे सूत्र काढता येणार नाही कारण प्रत्येक कणाचे फिरण्याच्या अक्षापासूनचे अंतर वेगवेगळे असते.

एकसंध दृढ वस्तूचे सूत्र
खालील सूत्रे अनेक एकजिनसी दृढ वस्तूंची आहेत.

समस्यांचे उदाहरण

३. २०१७ एसएमए/एमए राष्ट्रीय परीक्षेचे प्रश्न

पुढील तक्त्याकडे लक्ष द्या!

वस्तू P, Q, आणि R एका वस्तुमानरहित दांड्याने जोडलेल्या आहेत. वस्तू P च्या अक्षातून जाणाऱ्या प्रतलाला लंब असलेल्या अक्षाभोवती प्रणालीच्या जडत्व परिबलाचे परिमाण… आहे.

चर्चा

हे ज्ञात आहे:

विचारले: प्रणालीचा जडत्वाचा क्षण

उत्तर:

वस्तू Q चा जडत्वाचा क्षण:

I _Q = mr ² = (0,5)(10 ² ) = (0,5)(100) = 50 kg m ²

वस्तूचा जडत्वाचा क्षण R:

I _R = mr ² = (3)(6 ² ) = (3)(36) = 108 kg m ²

वस्तू P चा जडत्वाचा क्षण:

परिभ्रमणाचा अक्ष वस्तू P च्या अक्षातून जातो, त्यामुळे r = 0.

प्रणालीचा जडत्वाचा क्षण:

I = 50 kg m ² + 108 kg m ²

I = 158 kg m ²