स्थान सदिशांवर चर्चा करणाऱ्या समस्यांचे उदाहरण
सदिश ही गणित आणि भौतिकशास्त्रातील एक मूलभूत संकल्पना आहे, जी दिशा आणि परिमाण या दोन्हींसह राशी दर्शवते. विविध उपयोगांमध्ये, स्थान, वेग, बल आणि इतर अनेक मापदंडांचे वर्णन करण्यासाठी सदिशांचा वापर केला जातो. सदिशांच्या विविध प्रकारांपैकी, स्थान सदिश अवकाशातील एखाद्या बिंदूचे स्थान दर्शविण्यात महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावतात.
स्थान सदिशाची व्याख्या
स्थान सदिश हा एक सदिश आहे जो निर्देशक प्रणालीमध्ये आरंभबिंदूच्या सापेक्ष एखाद्या बिंदूचे स्थान दर्शवतो. सामान्यतः, स्थान सदिश कार्टेशियन निर्देशक स्वरूपात खालीलप्रमाणे लिहिला जातो:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
येथे, \(\mathbf{r}\) हा स्थान सदिश आहे, \(x\), \(y\), आणि \(z\) हे अनुक्रमे \(x\), \(y\), आणि \(z\) अक्षांवरील त्याचे घटक आहेत, तर \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), आणि \(\mathbf{k}\) हे अनुक्रमे निर्देशक अक्षांना समांतर असलेले एकक सदिश आहेत. द्विमितीय अवकाशात, \(z\) घटक सामान्यतः अस्तित्वात नसतो, त्यामुळे स्थान सदिश असा होतो:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
पोझिशन वेक्टर ॲप्लिकेशन्स
उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्रामध्ये, वस्तूंच्या गतीचे वर्णन करण्यासाठी स्थान सदिश महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावतात. आरंभबिंदूच्या (संदर्भ बिंदूच्या) सापेक्ष वस्तूचे स्थान एका स्थान सदिशाद्वारे दर्शविले जाऊ शकते. याव्यतिरिक्त, यांत्रिक अभियांत्रिकीमध्ये, बल आणि क्षणांच्या गणनेमध्ये अनेकदा स्थान सदिशांचा वापर केला जातो.
स्थान सदिशांचे उदाहरण प्रश्न आणि चर्चा
प्रश्न १
समजा त्रिमितीय अवकाशात दोन बिंदू आहेत, बिंदू A ज्याचे निर्देशक \( (1, 2, 3) \) आहेत आणि बिंदू B ज्याचे निर्देशक \( (4, 0, -2) \) आहेत. बिंदू A आणि B चे स्थान सदिश निश्चित करा. याव्यतिरिक्त, बिंदू A ला बिंदू B शी जोडणाऱ्या सदिशाची गणना करा.
चर्चा:
बिंदू A साठी स्थान सदिश:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
बिंदू B साठी स्थान सदिश:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
पुढे, बिंदू A ला बिंदू B शी जोडणारा सदिश (ज्याला \(\mathbf{AB}\) म्हणतात) शोधण्यासाठी, आपल्याला B च्या स्थान सदिशामधून A चा स्थान सदिश वजा करावा लागेल:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
तर, वरील दोन स्थान सदिश प्रतिस्थापित केल्यावर:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
म्हणून, बिंदू A ला B शी जोडणारा सदिश \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) आहे.
प्रश्न १
जर एखादा बिंदू P 2D प्रतलामध्ये \((2, 3)\) वर असेल, तर स्थान सदिश \(\mathbf{r_P}\) ची लांबी (नॉर्म) शोधा.
चर्चा:
बिंदू P चा स्थान सदिश:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
स्थान सदिश \(\mathbf{r_P}\) ची लांबी सदिश नॉर्म (किंवा लांबी) सूत्र वापरून मोजता येते:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\(x\) आणि \(y\) च्या किमती ठेवा:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
म्हणून, स्थान सदिश \(\mathbf{r_P}\) ची लांबी \(\sqrt{13}\) आहे.
प्रश्न १
समजा एक बिंदू Q हा \( (5, -4, 2) \) येथे आहे. स्थान सदिश \(\mathbf{r_Q}\) आणि \(x\) अक्षामधील कोन शोधा.
चर्चा:
बिंदू Q चा स्थान सदिश:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
वेक्टर \(\mathbf{r_Q}\) आणि \(x\) अक्षामधील कोन शोधण्यासाठी, आपण डॉट प्रॉडक्टची संकल्पना वापरू शकतो. सर्वप्रथम, आपण \(\mathbf{r_Q}\) आणि \(\mathbf{i}\) यांच्यातील डॉट प्रॉडक्ट निश्चित करतो:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
\(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), आणि \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\) असल्याने:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\) चा नॉर्म:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\) चा नॉर्म 1 आहे, कारण \(\mathbf{i}\) हा एकक सदिश आहे.
डॉट प्रोडक्ट सूत्र वापरून कोन \(\theta\) शोधणे:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
म्हणून स्थान सदिश \(\mathbf{r_Q}\) आणि \(x\) अक्षाच्या दरम्यानचा कोन \(\theta\) आहे:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
निष्कर्ष
स्थान सदिश विज्ञान आणि अभियांत्रिकीमध्ये, विशेषतः निर्देशक अवकाशात वस्तूंचे स्थान निश्चित करण्यासाठी, महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावतात. वरील उदाहरणे स्थान सदिश, त्यांची लांबी आणि त्यांच्या व निर्देशक अक्षांमधील कोन कसे मोजावेत हे दर्शवतात. गणित आणि भौतिकशास्त्रातील अवकाश आणि निर्देशकांशी संबंधित विविध समस्या सोडवण्यासाठी या मूलभूत संकल्पना समजून घेणे अत्यंत मौल्यवान आहे.
