वितरण मापनांवरील उदाहरणादाखल प्रश्न आणि चर्चा
विचलनाची मापे ही सांख्यिकीय संकल्पना आहेत, ज्यांचा उपयोग डेटा सेटमधील डेटा किती पसरलेला किंवा वैविध्यपूर्ण आहे याचे वर्णन करण्यासाठी केला जातो. विचलनाचे प्रमाण डेटा वितरणाचे अधिक सखोल अवलोकन प्रदान करते, ज्यामुळे अशी माहिती उघड होते जी केवळ मध्यक आणि सरासरीवरून दिसू शकत नाही. हा लेख विचलनाच्या मापांशी संबंधित अनेक उदाहरणे आणि या संकल्पनेचे स्पष्टीकरण देण्यासाठी त्यांच्यावरील चर्चेवर भाष्य करेल. विचलनाची विविध मापे आहेत, ज्यात कक्षा, मानक विचलन, विचरण आणि आंतरचतुर्थक कक्षा (IQR) यांचा समावेश आहे.
१. श्रेणी
व्याख्या
डेटा सेटमधील सर्वात जास्त आणि सर्वात कमी मूल्यांमधील फरकाला रेंज म्हणतात.
समस्यांचे उदाहरण
एक फुटबॉल संघ त्यांच्या शेवटच्या १० सामन्यांमध्ये केलेल्या गोलांची संख्या खालीलप्रमाणे नोंदवतो:
३, ५, २, ८, ७, २, ६, ९, ४, आणि १.
चर्चा
रेंजची गणना करण्यासाठी, आपल्याला डेटाची कमाल आणि किमान मूल्ये शोधावी लागतील.
– कमाल गुण: ९
– किमान मूल्य: १
रेंज = कमाल मूल्य – किमान मूल्य = 9 – 1 = 8
तर, शेवटच्या १० सामन्यांमध्ये केलेल्या गोलांची संख्या ८ गोल आहे.
२. मानक विचलन
व्याख्या
प्रमाणित विचलन हे डेटासेटमधील प्रत्येक मूल्य त्याच्या सरासरीपासून किती दूर आहे याचे एक माप आहे. प्रमाणित विचलन हे प्रसरणाचे वर्गमूळ असते.
समस्यांचे उदाहरण
एका वर्गाचे गणिताच्या परीक्षेतील गुण खालीलप्रमाणे आहेत: ६५, ७०, ७५, ८० आणि ८५.
चर्चा
पहिली पायरी म्हणजे सरासरी गुणांची गणना करणे.
\[
सरासरी = 65 + 70 + 75 + 80 + 85/5 = 75
\]
दुसरी पायरी म्हणजे प्रत्येक मूल्य आणि सरासरी यांमधील फरक काढणे, आणि नंतर आलेल्या उत्तराचा वर्ग करणे:
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
फरकांच्या वर्गांची सरासरी काढून विचलन शोधणे ही तिसरी पायरी आहे:
\[
\text{प्रसरण} = \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = 50
\]
प्रमाणित विचलन हे प्रसरणाचे वर्गमूळ असते:
\[
मानक विचलन = √50 ≈ 7.07
\]
म्हणून चाचणी गुणांचे मानक विचलन सुमारे 7.07 आहे.
३. विचलन
व्याख्या
विचलन म्हणजे प्रत्येक मूल्य आणि त्याचा मध्य यांच्यातील वर्ग केलेल्या फरकांची सरासरी; यावरून माहिती मध्याभोवती किती पसरलेली आहे हे कळते. विचलन हे प्रमाण विचलनाचा वर्ग असते.
समस्यांचे उदाहरण
समजा आपल्याकडे 10, 20, 30, 40 आणि 50 हा डेटासेट आहे.
चर्चा
पहिली पायरी म्हणजे डेटाची सरासरी काढणे.
\[
सरासरी = 10 + 20 + 30 + 40 + 50/5 = 30
\]
दुसरी पायरी म्हणजे प्रत्येक मूल्य आणि सरासरी यांमधील फरक काढणे, आणि नंतर आलेल्या उत्तराचा वर्ग करणे:
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
– (८५ – ७५)² = १००
फरकांच्या वर्गांची सरासरी काढून विचलन शोधणे ही तिसरी पायरी आहे:
\[
\text{प्रसरण} = \frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = 200
\]
म्हणून, डेटासेटचे विचलन 200 आहे.
४. आंतरचतुर्थक श्रेणी (IQR)
व्याख्या
आंतरचतुर्थक श्रेणी (IQR) म्हणजे तिसरा चतुर्थक (Q3) आणि पहिला चतुर्थक (Q1) यांमधील फरक होय. IQR हे डेटासेटमधील मधल्या ५०% डेटापासूनच्या विस्ताराचे मोजमाप देते, जे श्रेणीपेक्षा अधिक माहितीपूर्ण असू शकते.
समस्यांचे उदाहरण
खालील डेटासेटमध्ये 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 आणि 14 ही मूल्ये आहेत.
चर्चा
सर्वप्रथम, आपल्याला डेटाची क्रमवारी लावावी लागेल:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 14
Q1 आणि Q3 ची गणना करण्यासाठी, आपल्याला डेटाचे चतुर्थकांमध्ये विभाजन करणे आवश्यक आहे.
– मध्यक (Q2) 6 आणि 7 च्या दरम्यान आहे: \((6+7)/2 = 6.5\)
Q1 साठी, आपण कमी मूल्यांचा मध्यक घेतो:
– १००, २५, ०, २५, १००
– या उपसंचाचा मध्यक ४ आहे
प्रश्न ३ साठी, आपण उच्च मूल्यांचा मध्यक घेतो:
– १००, २५, ०, २५, १००
– या उपसंचाचा मध्यक ४ आहे
आंतरचतुर्थक श्रेणी (IQR) = Q3 – Q1 = 11 – 4 = 7
म्हणून, डेटासेटचा IQR 7 आहे.
निष्कर्ष
विचलनाची मापे ही सांख्यिकीमधील महत्त्वाची अंगे आहेत, जी आपल्याला माहितीमधील फरकाची पातळी समजण्यास मदत करतात. या लेखात, आम्ही विचलनाच्या काही सामान्यतः वापरल्या जाणाऱ्या मापांवर चर्चा केली आहे आणि त्यांची उदाहरणे व स्पष्टीकरण दिले आहे: विस्तार, मानक विचलन, विचरण आणि आंतरचतुर्थक विस्तार. या संकल्पना आणि त्यांची गणना कशी करायची हे समजून घेतल्याने, आपण विश्लेषण करत असलेल्या माहितीच्या वैशिष्ट्यांची आपल्याला अधिक चांगली समज येते, ज्यामुळे त्या माहितीच्या आधारावर अधिक माहितीपूर्ण निर्णय घेण्यास आपल्याला मदत होऊ शकते.
