बीजगणितीय फलनाच्या अवकलजावरील चर्चा प्रश्नाचे उदाहरण
कलनशास्त्रातील अवकलज ही एक मूलभूत संकल्पना आहे, जी एखादे फलन कसे बदलते किंवा एखाद्या बिंदूपाशी त्या फलनाचा उतार कसा असतो, याचे वर्णन करण्यासाठी वापरली जाते. अवकलज भौतिकशास्त्र, अर्थशास्त्र आणि अभियांत्रिकी यांसारख्या विविध क्षेत्रांमध्ये उपयुक्त आहेत, कारण ते बदलाच्या दराबद्दल माहिती देतात. या लेखात, आपण बीजगणितीय फलनांच्या अवकलजांची अनेक उदाहरणे आणि ती कशी सोडवायची यावर चर्चा करणार आहोत.
उदाहरण १: बहुपदीय फलनाचे अवकलज
प्रश्न: \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) हे फलन दिले आहे. त्या फलनाचा अवकलज काढा!
उत्तर:
बहुपदीय फलनांसाठी अवकलजांचा मूलभूत नियम, म्हणजेच \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), वापरून आपण फलनाच्या प्रत्येक पदाचा अवकलज एक-एक करून काढू.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
म्हणून, \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) चा अवकलज \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) आहे.
उदाहरण २: अपूर्णांक घातांक असलेल्या फलनाचे अवकलज
प्रश्न: \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) या फलनाचा अवकलज काढा.
उत्तर:
व्युत्पत्तीचा तोच नियम वापरून, म्हणजेच \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align }
\]
म्हणून, \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) चा अवकलज \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) आहे.
उदाहरण ३: घातांकी आणि त्रिकोणमितीय फलनांचे अवकलज
प्रश्न: \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) या फलनाचा अवकलज काढा.
उत्तर:
हे अवकलज सोडवण्यासाठी, आपल्याला गुणाकार नियमाची आवश्यकता आहे, जो \((uv)' = u'v + uv'\) असे सांगतो. समजा \( u(x) = e^x \) आणि \( v(x) = \sin(x) \), तर:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{कारण } e^x चा अवकलज } e^x \text{ आहे }
v'(x) &= \cos(x), & \text{कारण } \sin(x) चा अवकलज } \cos(x) आहे.
\end{align }
\]
उत्पादनांसाठी व्युत्पन्न नियमाचा वापर करणे:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
म्हणून, \( h(x) = e^x \sin(x) \) चा अवकलज \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \) आहे.
उदाहरण ४: साखळी नियमाचा वापर करून फलनाचे अवकलज
प्रश्न: \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) या फलनाचा अवकलज काढा.
उत्तर:
हे अवकलज सोडवण्यासाठी, आपल्याला साखळी नियमाची आवश्यकता आहे, म्हणजेच \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). समजा \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) आणि \( f(u) = u^5 \), तर:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{म्हणून} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
साखळी नियमाचा वापर करून:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
म्हणून, \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) चा अवकलज \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) आहे.
उदाहरण ५: त्रिकोणमितीय नित्यसमानता वापरून फलनाचे अवकलज
प्रश्न: \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) या फलनाचा अवकलज काढा.
उत्तर:
आपण गुणाकारांसाठी अवकलजाचा नियम वापरू. समजा \( u(x) = \sin(x) \) आणि \( v(x) = \cos(x) \), तर:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
उत्पादनांसाठी व्युत्पन्न नियमाचा वापर करणे:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align }
\]
\(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\) या त्रिकोणमितीय नित्यसमानतेचा वापर करून:
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
म्हणून, \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) चा अवकलज \( m'(x) = \cos(2x) \) आहे.
निष्कर्ष
बीजगणितीय फलनाचे अवकलज ही कलनशास्त्रातील एक मूलभूत संकल्पना आहे, जी विविध उपयोगांमध्ये अत्यंत महत्त्वाची आणि उपयुक्त आहे. अवकलनाचे विविध नियम, जसे की मूलभूत अवकलज नियम, गुणाकार नियम, साखळी नियम आणि त्रिकोणमितीय अवकलजांचे नियम, हे सर्व अधिक जटिल फलनांचे अवकलज काढण्यास मदत करतात. वरील उदाहरणे समजून घेऊन आणि समस्यांचा सराव करून, आपण बीजगणितीय फलनांचे अवकलज काढण्यामधील आपली समज आणि कौशल्ये सुधारू शकतो.
