वर्तुळाच्या स्पर्शरेषेच्या समीकरणावर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न
पेंडाहुलुआन
वर्तुळाच्या स्पर्शिकेचे समीकरण हा विश्लेषणात्मक भूमितीमधील एक महत्त्वाचा विषय आहे. वर्तुळाच्या स्पर्शिकेचे समीकरण कसे ठरवायचे हे समजून घेतल्यास, मध्यम ते प्रगत स्तरावरील विविध प्रकारच्या गणिती समस्या सोडवण्यास मदत होऊ शकते. या लेखात, वर्तुळाच्या स्पर्शिकेचे समीकरण ठरवण्यासाठी विविध उदाहरणे आणि पद्धतींवर चर्चा केली जाईल.
व्याख्या आणि मूलभूत सिद्धांत
निर्देशक प्रतलातील वर्तुळ सामान्यतः वर्गसमीकरणाने दर्शवता येते:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
येथे \((a, b)\) हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे आणि \(r\) ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे.
वर्तुळाच्या बाह्य बिंदूपासून काढलेली स्पर्शिका ही एक अशी रेषा आहे जी वर्तुळाला नेमक्या एकाच बिंदूत स्पर्श करते. जर आपण असे गृहीत धरले की त्या रेषेचे समीकरण आहे:
\[ y = mx + c \]
तर \(y = mx + c\) ही रेषा वर्तुळाला स्पर्शिका असेल ही अट खालील स्वरूपात मांडता येते:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
येथे \(m\) हा स्पर्शरेषेचा उतार आहे आणि \(c\) हा एक स्थिरांक आहे.
स्पर्शरेषेच्या समीकरणाचे सूत्र
\((0,0)\) केंद्र आणि \(r\) त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाच्या स्पर्शिकेचे, वर्तुळावरील \((x_1, y_1)\) बिंदूपाशी असलेले समीकरण खालीलप्रमाणे आहे:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
परंतु जर वर्तुळाचे केंद्र \((a, b)\) या बिंदूवर असेल, तर समीकरण असे आहे:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
प्रश्न १
\((3, 4)\) येथे केंद्र आणि 5 एकक त्रिज्या असलेले वर्तुळ. \((6, 8)\) या बिंदूपासून काढलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण निश्चित करा.
चर्चा:
या समस्येमध्ये, आपल्याला \((3, 4)\) केंद्र आणि 5 त्रिज्या असलेले एक वर्तुळ दिले आहे, आणि आपल्याला \((6, 8)\) बिंदूपासून निघणाऱ्या स्पर्शरेषेचे समीकरण शोधायचे आहे. ते सोडवण्याचे टप्पे खालीलप्रमाणे आहेत:
1. पडताळून पाहा की बिंदू \((6, 8)\) वर्तुळाच्या आत नाही: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
तर तो बिंदू वर्तुळावर आहे, त्यामुळे त्याचा उपयोग स्पर्शरेषा शोधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.
२. सूत्राचा वापर करून:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
३. समीकरण सोपे करा:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
४. विकसित करा:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
मिळालेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण आहे:
\[
२x + ३y = ८
\]
प्रश्न १
वर्तुळाचे समीकरण \[x^2 + y^2 = 16\] आहे. बिंदू \((4, 0)\) पासून निघणाऱ्या स्पर्शरेषेचे समीकरण निश्चित करा.
चर्चा:
\((0, 0)\) केंद्र आणि 4 एकक त्रिज्या असलेले एक वर्तुळ. दिलेला बाह्य बिंदू \((4, 0)\) आहे.
१. \((0, 0)\) केंद्र असलेल्या वर्तुळाचे सूत्र वापरून:
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
२. मूल्य प्रतिस्थापन:
\[
4x + 0 · y = 4²
\]
३. सोपे करा:
\[
4x = 16
\]
\[
x = एक्सएनयूएमएक्स
\]
म्हणजेच, आपल्याला मिळणारे स्पर्शिकेचे समीकरण हे आहे:
\[
x = एक्सएनयूएमएक्स
\]
प्रश्न १
\((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) या वर्तुळाला \((-1, 5)\) या बिंदूपाशी स्पर्श करणारी रेषा काढा.
चर्चा:
\((-2, 3)\) येथे केंद्र असलेले आणि 3 एकक त्रिज्या असलेले वर्तुळ. स्पर्शबिंदू \((-1, 5)\) आहे.
१. दिलेला बिंदू वर्तुळावर आहे याची पडताळणी करा:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow वर्तुळावर नाही}
\]
म्हणून, प्रश्न किंवा मुद्द्याच्या इनपुटमध्ये त्रुटी असू शकते. जर स्पर्शबिंदू \((-2, 6)\) असा दिला असेल तर:
२. सोपे करा:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
बदली:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
निकाल:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
३y-९=९
\]
\[
y = १५
असे दिसून येते की मुद्दा आणि व्यक्ती:
y = 6 हे निश्चितपणे योग्य आहे.
निष्कर्ष, संयोजन तपासा, लक्षात ठेवा, मोजण्याचे २ मार्ग.
वैध/असत्य..ते अधिक सारांश gar. td 2; (ग्रिड) सह आकार प्रमाणित करा. plis परिमिती सर्व कव्हरेज बटणे.
बस इतकंच, धन्यवाद आणि मला आशा आहे की हे माझ्या मित्रांसाठी उपयुक्त ठरेल.
याव्यतिरिक्त, आकलन दृढ करण्याची संकल्पना शिका.
ज्यांना पूर्वी समजले नव्हते, त्यांना, देवाची इच्छा असल्यास, शस्त्रक्रियेच्या महत्त्वाच्या टप्प्यांची अधिक तपशीलवार माहिती मिळेल.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{prevents}-fu.
"
