त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न

त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न

त्रिकोणमिती ही गणिताची एक शाखा आहे, जी त्रिकोणांमधील लांबी आणि कोन यांच्यातील संबंधांचा अभ्यास करते. अभियांत्रिकी, भौतिकशास्त्र, खगोलशास्त्र आणि अगदी दैनंदिन जीवनासारख्या विविध क्षेत्रांमध्ये त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे महत्त्वाची भूमिका बजावतात. हा लेख तुम्हाला त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांच्या मूलभूत संकल्पना समजण्यास मदत करण्यासाठी अनेक उदाहरणे आणि त्यांची उत्तरे यांचा आढावा घेईल.

काटकोन त्रिकोणांमधील त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे

चला, काटकोन त्रिकोणातील मूलभूत गुणोत्तरे समजून घेऊन सुरुवात करूया. ही गुणोत्तरे साइन (sin), कोसाइन (cos) आणि टॅनजंट (tan) म्हणून ओळखली जातात. काटकोन त्रिकोणामध्ये तीन महत्त्वाच्या बाजू असतात ज्या आपल्याला ओळखणे आवश्यक आहे:

१. विरुद्ध बाजू: आपण विचारात घेत असलेल्या कोनाच्या अगदी समोरची बाजू.
२. लगतची बाजू: आपण विचारात घेत असलेल्या कोनाच्या शेजारी असलेली बाजू.
३. कर्ण: काटकोन त्रिकोणातील काटकोनासमोरची सर्वात लांब बाजू.

उदाहरण प्रश्न १

कोन θ असलेला एक काटकोन त्रिकोण दिला आहे, जिथे कोन θ च्या विरुद्ध बाजूची लांबी 3 एकक, लगतच्या बाजूची लांबी 4 एकक आणि कर्णाची लांबी 5 एकक आहे. कोन θ च्या sin, cos आणि tan ची मूल्ये काढा.

उत्तर:
कोन θ ची साइन, कोसाइन आणि टॅनजंट मूल्ये काढण्यासाठी, आपण मूलभूत त्रिकोणमितीय गुणोत्तर सूत्रांचा वापर करतो:

– साइन (पाप) θ = समोरची बाजू / हायपोटेन्युज
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]

– कोसाइन (cos) θ = बाजू / कर्ण
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]

– स्पर्शिका (tan) θ = समोरची बाजू / बाजू
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]

इतर कोनांचे त्रिकोणमितीय संबंध

त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे समभुज त्रिकोण आणि नियमित त्रिकोणांसहित विविध प्रकारच्या त्रिकोणांमधील इतर कोनांनाही लागू केली जाऊ शकतात. साइन नियम आणि कोसाइन नियम यांसारखे मूलभूत नियम समजून घेणे महत्त्वाचे आहे, जे काटकोन त्रिकोण नसलेल्या त्रिकोणांना लागू होतात.

उदाहरण प्रश्न १

त्रिकोण ABC दिला आहे, ज्याच्या बाजू a = 7 सेमी, b = 24 सेमी आणि कोन C = 90° आहे. बाजू c ची लांबी आणि कोन A व B ची मूल्ये शोधा.

उत्तर:

कोन C हा काटकोन असल्यामुळे, आपण पायथागोरस प्रमेयाचा वापर करून बाजू c (कर्ण) ची लांबी शोधू शकतो:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]

पुढे, कोन A आणि B ची किंमत ठरवण्यासाठी, आपण मूलभूत त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांचा वापर करू शकतो.

कोन A साठी, आपण कोसाइन वापरतो:
\[ \cos A = \frac{\text{लगतची बाजू}}{\text{कर्ण}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

कोन B साठी, आपण साइनचा वापर करतो:
\[ \sin B = \frac{\text{समोरील बाजू}}{\text{कर्ण}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

कारण काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन सोडून इतर कोनांची बेरीज ९०° असली पाहिजे:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]

साइन नियम

साइन नियम खालीलप्रमाणे मांडला जातो:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

उदाहरण प्रश्न १

एका त्रिकोणाची बाजू a = 8 सेमी, बाजू b = 15 सेमी आणि कोन C = 60° आहे. साइन नियमाचा वापर करून कोन A आणि बाजू c ची लांबी शोधा.

उत्तर:

सर्वप्रथम, साइन नियमाचा वापर करून इतर कोनांपैकी एक कोन (उदाहरणार्थ, कोन A) शोधा:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]

आपल्याला प्रथम c ची किंमत काढावी लागेल. कोन C हा 60° असल्याने, आपण कोसाइन नियम वापरू शकतो:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]

आता, आपण कोन A शोधू शकतो:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
\(\sin 60° = \sqrt{3}/2\) असल्याने:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]

शेवटी, व्यस्त साइनचा वापर करून:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]

कोसाइन नियम

कोसाइन नियम सांगतो:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]

उदाहरण प्रश्न १

एका त्रिकोणाची बाजू a = 9 सेमी, बाजू b = 12 सेमी आणि बाजू c = 15 सेमी आहे. कोन C ची किंमत काढा.

उत्तर:

कोन C शोधण्यासाठी, आपण कोसाइन नियमाचा वापर करतो:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]

येथून आपल्याला कळते की कोन C हा 90° आहे कारण cos 90° = 0.

त्रिकोणमितीय गुणोत्तर समजून घेण्यासाठी ही काही उदाहरणे दिली आहेत. विविध प्रकारच्या प्रश्नांचा सतत सराव केल्याने या संकल्पनांबद्दलची तुमची समज अधिक पक्की होण्यास खूप मदत होईल. आम्हाला आशा आहे की हा लेख तुमच्या शिकण्यासाठी उपयुक्त ठरला असेल!