घटकांनुसार सदिश बेरजेवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न
सदिश बेरीज ही भौतिकशास्त्र आणि गणितातील एक मूलभूत प्रक्रिया आहे, जी दोन किंवा अधिक सदिशांचा परिणामी सदिश शोधण्यासाठी वापरली जाते. सदिश बेरीज सोडवण्यासाठी घटक-निहाय पद्धत ही एक विशेषतः उपयुक्त पद्धत आहे, खासकरून जेव्हा दोन किंवा तीन मितींमधील सदिशांचा विचार केला जातो. हा लेख घटक-निहाय सदिश बेरजेची संकल्पना स्पष्ट करेल आणि अनेक उदाहरणे व त्यांची उत्तरे देईल.
घटक सदिश बेरजेची संकल्पना
द्विमितीय (2D) अवकाशातील प्रत्येक सदिश दोन घटकांमध्ये विभागला जाऊ शकतो: एक x (आडवा) घटक आणि एक y (उभा) घटक. त्रिमितीय (3D) अवकाशात, सदिशांना एक अतिरिक्त घटक असतो, तो म्हणजे z (खोली) घटक.
समजा आपल्याकडे A आणि B असे दोन सदिश आहेत. या सदिशांचे घटक खालीलप्रमाणे व्यक्त केले जाऊ शकतात:
– वेक्टर A चे 2D मध्ये \(A_x\) आणि \(A_y\) घटक आहेत (किंवा 3D मध्ये \(A_z\) देखील).
– वेक्टर B चे 2D मध्ये \(B_x\) आणि \(B_y\) घटक आहेत (किंवा 3D मध्ये \(B_z\) देखील).
या दोन सदिशांची बेरीज केल्यास परिणामी सदिश R मिळेल, ज्याचे घटक खालीलप्रमाणे आहेत:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
3D मधील सदिशांसाठी, z घटक देखील खालीलप्रमाणे असतो:
\[ R_z = A_z + B_z \]
परिणामी सदिशाच्या प्रत्येक घटकाची गणना केल्यानंतर, आपण खालील सूत्राचा वापर करून परिणामी सदिशाचे मापांक (परिमाण) आणि दिशा शोधू शकतो:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D साठी)
किंवा 3D साठी:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
आणि परिणामी सदिशची दिशा निर्देशक अक्षांशी असलेल्या कोनावरून निश्चित केली जाऊ शकते.
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
प्रश्न १
द्विमितीय प्रतलातील दोन सदिश दिले असता:
– A पूर्वेला \(5 \, \text{युनिट}\) आहे.
– B उत्तरेला 3 एकक आहे.
परिणामी सदिश R निश्चित करा.
चर्चा
सर्वप्रथम, आपण वेक्टरला त्याच्या संबंधित घटकांमध्ये रूपांतरित करतो.
– वेक्टर A : \(A = (5, 0)\) कारण त्यात फक्त x घटक आहे.
– वेक्टर B : \(B = (0, 3)\) कारण त्यात फक्त y घटक आहे.
घटकांची बेरीज येथे दिली आहे:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
तर परिणामी सदिश R हा आहे:
\[ R = (5, 3) \]
सदिश R ची लांबी (मापांक) मोजण्यासाठी:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
x-अक्षाशी असलेल्या θ कोनाचा वापर करून सदिश R ची दिशा मोजता येते:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
अशाप्रकारे, परिणामी वेक्टर R ची लांबी सुमारे 5.83 युनिट आहे आणि तो x-अक्षाशी 30.96° चा कोन बनवतो.
प्रश्न १
त्रिमितीय अवकाशातील दोन सदिश दिले असता:
– A हे \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) आहे
– B हे \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\) आहे
परिणामी सदिश R निश्चित करा.
चर्चा
सर्वप्रथम, आपण प्रत्येक सदिशाचे घटक ओळखतो:
– सदिश A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– सदिश B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
घटकांची बेरीज येथे दिली आहे:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
तर परिणामी सदिश R हा आहे:
\[ R = (4, 6, 3) \]
सदिश R ची लांबी (मापांक) मोजण्यासाठी:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]
डायरेक्टरच्या कोसाइनचा वापर करून x, y, आणि z अक्षांच्या सापेक्ष वेक्टर R ची दिशा मोजता येते:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \approx 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \approx 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \approx 67.64^\circ \]
अशाप्रकारे, परिणामी वेक्टर R ची लांबी सुमारे 7.81 युनिट आहे आणि x, y, आणि z अक्षांच्या सापेक्ष त्याच्या दिशा 59.50°, 39.50°, आणि 67.64° आहेत.
प्रश्न १
दिलेले दोन सदिश:
– P चे परिमाण 4 एकक आहे आणि ते धन x-अक्षाशी 45° चा कोन तयार करते.
– Q चे परिमाण 6 एकक आहे आणि ते धन x-अक्षाशी 120° चा कोन तयार करते.
परिणामी सदिश R निश्चित करा.
चर्चा
सर्वप्रथम, आपण वेक्टरला त्याच्या x आणि y घटकांमध्ये विभाजित करतो:
– सदिश P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– सदिश Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
घटकांची बेरीज येथे दिली आहे:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
तर, परिणामी सदिश R हा आहे:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
सदिश R ची लांबी (मापांक) मोजण्यासाठी:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \approx 8.03 \]
वेक्टर R ची दिशा :
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
मात्र, हा कोन ऋण x-अक्षाच्या संदर्भात मोजला जातो, त्यामुळे समस्येच्या संदर्भातील वास्तविक कोन असा आहे:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \approx 91.01^\circ \]
अशाप्रकारे, परिणामी वेक्टर R ची लांबी सुमारे 8.03 युनिट आहे आणि तो धन x-अक्षाशी 91.01° चा कोन बनवतो.
या लेखात घटक-निहाय सदिश बेरजेवर चर्चा केली असून, अनेक उदाहरणे आणि त्यांची उत्तरे दिली आहेत. घटक-निहाय पद्धत गणना सुलभ करण्यासाठी आणि अवकाशाच्या गणितीय मितीमधील सदिश समस्या सोडवण्यासाठी एक पद्धतशीर मार्ग प्रदान करते.
