समांतरभुज चौकोन पद्धतीचा वापर करून दोन सदिशांच्या बेरजेवर चर्चा करणारा उदाहरणादाखल प्रश्न
सदिश बेरीज ही भौतिकशास्त्र आणि गणितातील एक महत्त्वपूर्ण संकल्पना आहे, जी अनेकदा नैसर्गिक घटना आणि दैनंदिन जीवनातील समस्यांचे वर्णन करण्यासाठी वापरली जाते. दोन सदिशांची बेरीज करण्याच्या अनेक पद्धती आहेत, त्यापैकी एक म्हणजे समांतरभुज चौकोन पद्धत. ही पद्धत केवळ सहज समजणारीच नाही, तर दोन सदिश एकत्र येऊन परिणामी सदिश कसा तयार होतो याचे एक प्रभावी दृश्यात्मक सादरीकरण देखील करते. या लेखात, आपण समांतरभुज चौकोन पद्धतीचा वापर करून केलेल्या सदिश बेरजेची अनेक उदाहरणे, त्यांच्या उत्तरांसह पाहणार आहोत.
सदिश म्हणजे काय?
उदाहरणांमध्ये जाण्यापूर्वी, आपल्याला सदिशाची मूलभूत व्याख्या समजून घेणे आवश्यक आहे. सदिश ही एक अशी राशी आहे जिला परिमाण (लांबी) आणि दिशा दोन्ही असतात. वेग, त्वरण, बल आणि विस्थापन ही सदिशांची उत्कृष्ट उदाहरणे आहेत. सदिशाला कार्टेशियन निर्देशांकांमध्ये त्याचे घटक (i, j, k) म्हणून किंवा त्याची लांबी आणि दिशा (कोन) म्हणून दर्शवता येते.
समांतरभुज चौकोन पद्धत
समांतरभुज चौकोन पद्धत ही दोन सदिश जोडण्याची एक पद्धत आहे. या पद्धतीत, आपण दोन सदिशांना समांतरभुज चौकोनाच्या दोन बाजू म्हणून दर्शवतो. परिणामी सदिश हा त्या दोन सदिशांच्या आरंभबिंदूपासून सुरू होणारा समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण असतो. गणितानुसार, जर आपल्याकडे दोन सदिश \(\vec{A}\) आणि \(\vec{B}\) असतील, तर परिणामी सदिश \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) असतो.
समांतरभुज चौकोन पद्धत वापरण्याची टप्प्याटप्प्याची पद्धत खालीलप्रमाणे आहे:
1. आरंभ बिंदूपासून वेक्टर \(\vec{A}\) काढा.
२. सदिश \(\vec{A}\) च्या टोकापासून सदिश \(\vec{B}\) काढा.
3. आरंभबिंदू \(\vec{A}\) पासून सदिश \(\vec{B}\) ला समांतर रेषा काढा.
4. वेक्टर \(\vec{B}\) च्या टोकापासून वेक्टर \(\vec{A}\) ला समांतर रेषा काढा.
5. परिणामी सदिश \(\vec{R}\) मिळवण्यासाठी आरंभ बिंदूपासून विरुद्ध कोपऱ्यापर्यंत एक कर्ण काढा.
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
प्रश्न १
समजा आपल्याकडे दोन सदिश \(\vec{A}\) आणि \(\vec{B}\) आहेत:
– \(\vec{A}\) ची लांबी (परिमाण) 5 एकक आहे आणि दिशा 0° (किंवा धन x-अक्षाच्या दिशेने) आहे,
– \(\vec{B}\) ची लांबी 3 युनिट आहे आणि दिशा 90° आहे (किंवा धन y-अक्षाच्या दिशेने).
समांतरभुज चौकोन पद्धतीचा वापर करून या दोन सदिशांची बेरीज केल्यास मिळणारे परिणामी मूल्य काय असेल?
चर्चा:
1. धन x-अक्षावर 5 एकक लांबीचा सदिश \(\vec{A}\) काढा.
2. वेक्टर \(\vec{A}\) च्या टोकापासून, धन y-अक्षावर 3 एकक लांबीचा वेक्टर \(\vec{B}\) काढा.
३. आरंभबिंदू \(\vec{A}\) पासून, \(\vec{B}\) ला समांतर एक रेषा काढा.
4. \(\vec{B}\) च्या टोकापासून, \(\vec{A}\) ला समांतर एक रेषा काढा.
५. परिणामी एक समांतरभुज चौकोन मिळतो, ज्याचा कर्ण हा परिणामी सदिश \(\vec{R}\) असतो.
\(\vec{A}\) आणि \(\vec{B}\) एकमेकांना लंब असल्यामुळे, आपण पायथागोरस प्रमेयाचा वापर करून परिणामी सदिशाची लांबी मोजू शकतो:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
परिणामी सदिशाची दिशा त्रिकोणमितीचा वापर करून काढता येते. जर \(\theta\) हा परिणामी सदिश आणि \(\vec{A}\) यांच्यातील कोन असेल तर:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
तर:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
अशाप्रकारे, परिणामी सदिश \(\vec{R}\) चे परिमाण सुमारे 5.83 एकक आहे आणि \(\vec{A}\) पासून त्याची दिशा सुमारे 30.96° आहे.
प्रश्न १
दोन सदिश \(\vec{C}\) आणि \(\vec{D}\) खालीलप्रमाणे दिलेले आहेत:
– \(\vec{C}\) ज्याची लांबी 4 युनिट आणि दिशा 45° आहे.
– \(\vec{D}\) ज्याची लांबी 6 एकक आणि दिशा 120° आहे.
दोन सदिशांच्या बेरजेतून मिळणारा परिणामी सदिश \(\vec{R}\) निश्चित करा.
चर्चा:
एकमेकांना लंब नसलेल्या किंवा वेगवेगळ्या आकारांच्या दोन सदिशांची बेरीज करण्यासाठी, तुम्ही कार्टेशियन घटकांचा वापर करू शकता.
1. \(\vec{C}\) आणि \(\vec{D}\) चे x आणि y घटकांमध्ये विभाजन करा.
\(\vec{C}\) साठी:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\(\vec{D}\) साठी:
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
२. दोन्ही सदिशांच्या x आणि y घटकांची बेरीज करा:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
३. परिणामी सदिश \(\vec{R}\) चे परिमाण आणि दिशा निश्चित करा:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \approx 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
निकाल ऋणात्मक असल्याने, योग्य चतुर्थांश प्रणालीमध्ये कोन मिळवण्यासाठी आपण त्यात 180° मिळवतो:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
म्हणून, परिणामी सदिश \(\vec{R}\) चे परिमाण सुमारे 8.03 एकक आहे आणि दिशा सुमारे 271.93° आहे, किंवा आपण असे म्हणू शकतो की चौथ्या चतुर्थांशामध्ये नकारात्मक x-अक्षापासून सुमारे 91.93° आहे.
बंद होत आहे
समांतरभुज चौकोन पद्धत ही दोन सदिशांची बेरीज करण्याची एक प्रभावी आणि दृश्यमान पद्धत आहे. साध्या सदिशांसाठी ही पद्धत सोपी वाटत असली तरी, हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की अधिक गुंतागुंतीच्या सदिशांसाठी, अचूक परिणाम मिळवण्यासाठी आपल्याला अनेकदा कार्टेशियन घटक आणि अधिक प्रगत बीजगणितीय तंत्रांचा वापर करावा लागतो. आशा आहे की, वरील उदाहरणांवरून ही पद्धत विविध परिस्थितींमध्ये कशी लागू केली जाऊ शकते याचे स्पष्ट चित्र मिळाले असेल.
