सदिश वजाबाकीचे उदाहरण प्रश्न आणि चर्चा
पेंडाहुलुआन
गणित आणि भौतिकशास्त्रामध्ये, अनेक नैसर्गिक आणि अभियांत्रिकी घटनांचे स्पष्टीकरण देण्यासाठी सदिश ही एक मूलभूत संकल्पना वापरली जाते. सदिश ही एक अशी राशी आहे जिला परिमाण आणि दिशा दोन्ही असतात. विस्थापन, वेग, त्वरण आणि बल ही सदिशांची काही महत्त्वाची उदाहरणे आहेत. या लेखात आपण सदिश वजाबाकीवर चर्चा करणार आहोत, जरी या विषयावर अनेकदा सदिश संयोगाच्या संदर्भात भर दिला जातो.
सदिश वजाबाकी ही सदिश विश्लेषणामधील एक मूलभूत आणि महत्त्वपूर्ण क्रिया आहे. ही संकल्पना अधिक सखोलपणे समजून घेण्यासाठी, आपण सदिश वजाबाकीशी संबंधित काही उदाहरणे आणि चर्चांचा आढावा घेऊया.
सदिश वजाबाकी
सदिश वजाबाकी {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ही सदिश {\displaystyle \mathbf{A}} आणि सदिश {\displaystyle -\mathbf{B}} यांची बेरीज करण्याची क्रिया म्हणून परिभाषित केली जाते, जिथे {\displaystyle -\mathbf{B}} हा {\displaystyle \mathbf{B}} च्या समान परिमाणाचा परंतु विरुद्ध दिशेचा सदिश असतो. गणितानुसार, हे असे लिहिले जाऊ शकते:
{\displaystyle \mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
प्रश्न १: द्विमितीय सदिशांची वजाबाकी
समजा कार्टेशियन निर्देशांकांमध्ये दोन सदिश आहेत:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} आणि {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ची गणना करा.
चर्चा:
पहिली पायरी म्हणजे {\displaystyle \mathbf{B}} चा ऋण सदिश शोधणे, म्हणजेच:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
पुढे, वेक्टर {\displaystyle \mathbf{A}} आणि {\displaystyle -\mathbf{B}} यांची बेरीज करा:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
प्रत्येक x आणि y घटकाची बेरीज करून सदिश बेरीज करा:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
म्हणून, {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} या सदिशांची वजाबाकी केल्यावर मिळणारा निकाल (3, 1) हा सदिश आहे.
प्रश्न २: त्रिमितीय सदिशांची वजाबाकी
त्रिमितीय निर्देशांकांमधील दोन सदिश दिले असता:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} आणि {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} ची गणना करा.
चर्चा:
पहिली पायरी म्हणजे {\displaystyle \mathbf{Q}} चा ऋण सदिश शोधणे:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
पुढे, सदिश {\displaystyle \mathbf{P}} आणि {\displaystyle -\mathbf{Q}} यांची बेरीज करा:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
प्रत्येक x, y, आणि z घटकांची बेरीज करून सदिश बेरीज करा:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
म्हणून, {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} या सदिशांची वजाबाकी केल्यावर मिळणारा सदिश (5, -9, -1) आहे.
प्रश्न ३: संमिश्र प्रतलातील सदिश वजाबाकी
समजा, संमिश्र संख्यांनी दर्शवलेले दोन सदिश आहेत:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} आणि {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} ची गणना करा.
चर्चा:
पहिली पायरी म्हणजे {\displaystyle \mathbf{N}} चा ऋण सदिश शोधणे:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
पुढे, वेक्टर {\displaystyle \mathbf{M}} आणि {\displaystyle -\mathbf{N}} यांची बेरीज करा:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 - 2i)}
प्रत्येक वास्तव आणि काल्पनिक घटकांची बेरीज करून सदिश बेरीज करा:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
म्हणून, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} या सदिशांची वजाबाकी केल्यावर मिळणारा निकाल 2 + 2i ही संमिश्र संख्या आहे.
प्रश्न ४: ध्रुवीय निर्देशक प्रणालीमध्ये सदिश वजाबाकी
समजा ध्रुवीय निर्देशांकांमध्ये दोन सदिश आहेत:
{\displaystyle \mathbf{U}} चे परिमाण 5 आणि कोन 30° आहे,
आणि {\displaystyle \mathbf{V}} चे परिमाण 3 आणि कोन 150° आहे.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} ची गणना करा.
चर्चा:
पहिली पायरी म्हणजे {\displaystyle \mathbf{U}} आणि {\displaystyle \mathbf{V}} या सदिशांना कार्टेशियन निर्देशांकांमध्ये रूपांतरित करणे.
{\displaystyle \mathbf{U}} साठी:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
म्हणून कार्टेशियनमध्ये {\displaystyle \mathbf{U}} हे (4.33, 2.5) आहे.
{\displaystyle \mathbf{V}} साठी:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
म्हणून कार्टेशियनमध्ये {\displaystyle \mathbf{V}} हे (-2.598, 1.5) आहे.
पुढील पायरी, कार्टेशियनमध्ये सदिश वजाबाकीची गणना करा:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
म्हणजेच सदिशाची ऋण संख्या मिळवल्यास:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
म्हणून, कार्टेशियन निर्देशांकांमध्ये वेक्टर {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} वजा केल्यावर मिळणारे उत्तर (6.928, 1) आहे.
निष्कर्ष
सदिश विश्लेषणाचा उपयोग करणाऱ्या अनेक क्षेत्रांमध्ये सदिश वजाबाकी ही एक अत्यावश्यक गणितीय क्रिया आहे. द्विमितीय, त्रिमितीय, संमिश्र किंवा ध्रुवीय निर्देशक प्रणालींमध्ये, मूलभूत तत्त्व तेच राहते: एका सदिशामध्ये दुसऱ्या सदिशाचा ऋण सदिश मिळवणे. वरील उदाहरणे वेगवेगळ्या संदर्भांमध्ये ही क्रिया लागू करण्याचे विविध मार्ग स्पष्ट करतात, ज्यामुळे आपल्याला ही संकल्पना अधिक सखोलपणे आणि व्यावहारिकरित्या समजण्यास मदत होते.
