संयुक्त घटनांच्या संभाव्यतेवर चर्चा करणारे उदाहरणादाखल प्रश्न
संयुक्त घटनांच्या संभाव्यतेची ओळख
संभाव्यता ही गणिताची एक शाखा आहे जी एखादी घटना घडण्याच्या शक्यतेचा अभ्यास करते. संयुक्त घटनेची संभाव्यता म्हणजे एकापेक्षा जास्त घटनांचा समावेश असलेल्या घटनेची संभाव्यता होय. उदाहरणार्थ, फाशावर सम संख्या येण्याची आणि पत्त्यांच्या संचातून एक्का मिळण्याची संभाव्यता ही संयुक्त घटनांची उदाहरणे आहेत. या लेखात अनेक उदाहरणांवर चर्चा केली जाईल आणि संयुक्त घटनांच्या संभाव्यतेवर चर्चा केली जाईल.
संयुक्त घटनांच्या संभाव्यतेची मूलभूत संकल्पना
संयुक्त घटनांचे दोन प्रकार आहेत:
१. परस्पर अनन्य घटना: अशा दोन घटना ज्या एकाच वेळी घडू शकत नाहीत. उदाहरणार्थ, फासा टाकताना, २ आणि ५ येणे या घटना परस्पर अनन्य आहेत, कारण एकाच वेळी दोन्ही अंक येणे अशक्य आहे.
२. परस्पर अनन्य नसलेल्या घटना: दोन घटना ज्या एकाच वेळी घडू शकतात. उदाहरणार्थ, पत्त्यांच्या सोडतीत, बदाम (♥) पत्ता मिळणे आणि १० अंक असलेला पत्ता मिळणे या घटना परस्पर अनन्य नाहीत, कारण १० अंक असलेला बदाम पत्ता अस्तित्वात आहे.
संयुक्त घटनांची संभाव्यता मोजण्यासाठी वापरली जाणारी काही मूलभूत सूत्रे येथे दिली आहेत:
– P(A किंवा B) (परस्पर अनन्य नसलेल्या घटनांसाठी): \(P(A ≠ B) = P(A) + P(B) – P(A ≠ B)\)
– P(A किंवा B) (परस्पर अनन्य घटनांसाठी): \(P(A ≠ B) = P(A) + P(B)\)
– P(A आणि B) (स्वतंत्र घटनांसाठी): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
उदाहरण प्रश्न १: फासे
प्रश्न:
फाशावर सम संख्या किंवा ४ पेक्षा मोठी संख्या येण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
सर्वप्रथम, आपण घटनांची व्याख्या करूया:
– घटना अ: सम संख्या मिळणे (२, ४, ६)
– घटना B: 4 पेक्षा मोठी संख्या मिळवणे (5, 6)
पुढे, आपण प्रत्येक घटनेची संभाव्यता निश्चित करू:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
घटना A आणि B या दोन्हीमध्ये 6 हा अंक समाविष्ट असल्यामुळे, आपल्याला \(P(A \cap B)\) ची गणना करायची आहे:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (कारण A आणि B या दोन्हीमध्ये फक्त एकच संख्या, म्हणजेच 6, समाविष्ट आहे)
परस्पर अनन्य नसलेल्या घटनांसाठी सूत्र वापरून:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
चला, या अपूर्णांकांचे छेद समान करूया:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
म्हणून, सम संख्या किंवा 4 पेक्षा मोठी संख्या मिळण्याची संभाव्यता \(\frac{2}{3}\) आहे.
उदाहरण प्रश्न २: पत्ते खेळणे
प्रश्न:
पत्त्यांच्या संचातून एक्का किंवा इस्पिक मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
सर्वप्रथम, आपण घटनांची व्याख्या करूया:
– घटना अ: एक्का कार्ड मिळणे (एकूण ४, प्रत्येक रंगाचा एक)
– घटना B: स्पेड कार्ड मिळणे (एकूण १३)
पुढे, आपण प्रत्येक घटनेची संभाव्यता निश्चित करू:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
इस्पिकचा एक्का घटना A आणि B या दोन्हीमध्ये समाविष्ट असल्याने, आपल्याला \(P(A \cap B)\) ची गणना करायची आहे:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
परस्पर अनन्य नसलेल्या घटनांसाठी सूत्र वापरून:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
चला, या अपूर्णांकांचे छेद समान करूया:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
म्हणून, एक्का किंवा इस्पिक मिळण्याची संभाव्यता \(\frac{4}{13}\) आहे.
उदाहरण समस्या ३: खोक्यातील चेंडू
प्रश्न:
एका खोक्यात ३ लाल चेंडू, ४ निळे चेंडू आणि ५ हिरवे चेंडू आहेत. जर त्यातून यादृच्छिकपणे एक चेंडू काढला, तर लाल चेंडू किंवा हिरवा चेंडू मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
सर्वप्रथम, आपण घटनांची व्याख्या करूया:
– घटना अ: लाल चेंडू मिळवणे (क्रमांक ३)
– इव्हेंट बी: हिरवा चेंडू मिळवणे (क्रमांक ५)
पुढे, आपण प्रत्येक घटनेची संभाव्यता निश्चित करू:
– एकूण चेंडूंची संख्या = ३ + ४ + ५ = १२
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
कोणताही चेंडू एकाच वेळी लाल आणि हिरवा असू शकत नसल्यामुळे, या घटना परस्पर अनन्य आहेत:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
चला, या अपूर्णांकांचे छेद समान करूया:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
म्हणून, लाल चेंडू किंवा हिरवा चेंडू मिळण्याची संभाव्यता \(\frac{2}{3}\) आहे.
उदाहरण प्रश्न ४: दोन नाणी
प्रश्न:
जर दोन नाणी एकाच वेळी फेकली, तर किमान एक छापा येण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
आपण घटना अ अशी परिभाषित करतो: किमान एका प्रतिमेचा अनुभव घेणे.
दोन नाणी फेकल्यास चार संभाव्य परिणाम मिळू शकतात:
१. एचएच
२. एचटी
३. टीएच
४. टीटी
ज्या कार्यक्रमांमध्ये किमान एक चित्र असते ते खालीलप्रमाणे आहेत:
– एचटी
– टीएच
– टीटी
चला, प्रत्येकाची संभाव्यता मोजूया:
– संभाव्य घटनांची एकूण संख्या: ४
– किमान एक प्रतिमा असलेल्या इव्हेंटची संख्या: ३
\[
P(A) = \frac{किमान एक छापा असलेल्या घटनांची संख्या}{एकूण घटनांची संख्या} = \frac{3}{4}
\]
म्हणून, किमान एक प्रतिमा दिसण्याची संभाव्यता \(\frac{3}{4}\) आहे.
निष्कर्ष
वरील समस्यांवरील चर्चेतून हे दिसून येते की, एखादी संयुक्त घटना परस्पर अनन्य असो वा नसो, आपण तिची संभाव्यता कशी मोजू शकतो. मूलभूत संकल्पना समजून घेऊन आणि योग्य सूत्रांचा वापर करून, आपण विविध दैनंदिन परिस्थितींमध्ये घटनांच्या विशिष्ट संयोगांची संभाव्यता निश्चित करू शकतो. संयुक्त घटनांची संभाव्यता निश्चित करण्यात अधिक पारंगत होण्यासाठी विविध समस्या सोडवून आपल्या कौशल्यांचा सराव करत रहा.
