लॉगरिदमिक फलनांवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न
लॉगरिदम ही गणितातील, विशेषतः बीजगणित आणि विश्लेषणामधील एक प्रमुख संकल्पना आहे. त्यांचा घातांकांशी जवळचा संबंध असून, घातांकी समीकरणे सोडवण्यासाठी तसेच विविध वैज्ञानिक आणि अभियांत्रिकी उपयोगांमध्ये त्यांचा वारंवार वापर केला जातो. या लेखात, वारंवार आढळणाऱ्या लॉगरिदमच्या काही समस्यांवर, प्रत्येक समस्येच्या सविस्तर स्पष्टीकरणासह चर्चा केली जाईल.
लॉगरिदमचा परिचय
लॉगरिदम हे घातांकांचे व्यस्त असतात. जर आपल्याकडे \(b^y = x\) हे घातांकी समीकरण असेल, तर त्याचे लॉगरिदमिक रूप \(y = \log_b{x}\) असते, ज्याचा अर्थ “y हा b पाया असलेला x चा लॉगरिदम आहे” असा होतो. काही सामान्यपणे वापरले जाणारे लॉगरिदम म्हणजे नैसर्गिक लॉगरिदम (पाया \(e\)) आणि दशांश लॉगरिदम (पाया 10).
लॉगरिदमचे गुणधर्म
लॉगरिथमचे काही मूलभूत गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहेत, जे अनेकदा समस्या सोडवण्यासाठी वापरले जातात:
१. गुणाकाराचा लॉगरिथम:
\[
\log_b{(xy)} = \log_b{x} + \log_b{y}
\]
२. भागाकाराचा लॉगरिथम:
\[
\log_b{(\frac{x}{y})} = \log_b{x} – \log_b{y}
\]
३. घातांकाचा लॉगरिथम:
\[
\log_b{(x^a)} = a \cdot \log_b{x}
\]
४. लॉगरिदमिक बेसमध्ये बदल:
\[
\log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}
\]
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
१. प्रश्न १:
\( \log_2{32} \) ची किंमत काढा.
चर्चा:
आपल्याला माहित आहे की \(32\) हे \(2^5\) असे लिहिता येते. म्हणून:
\[
\log_2{32} = \log_2{(2^5)} = 5 \cdot \log_2{2}
\]
\(\log_2{2} = 1\) असल्याने:
\[
\log_2{32} = 5 \cdot 1 = 5
\]
म्हणून, \( \log_2{32} \) ची किंमत 5 आहे.
१. प्रश्न १:
जर \( \log_3{x} = 4 \) असेल, तर \( x \) ची किंमत काढा.
चर्चा:
लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार, \( \log_3{x} = 4 \) हे घातांक स्वरूपात पुन्हा लिहिता येते:
\[
3^4 = x
\]
\(3^4\) ची गणना:
\[
५^४ = ६२५
\]
म्हणून, \( x \) ची किंमत 81 आहे.
१. प्रश्न १:
\( \log_{10}{x} = -2 \) हे समीकरण दिले आहे. \( x \) ची किंमत काढा.
चर्चा:
लॉगरिदमिक स्वरूपाचे घातांकी स्वरूपात रूपांतर करा:
\[
१०^{-२} = x
\]
\(10^{-2}\) ची गणना:
\[
10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01
\]
म्हणून, \( x \) ची किंमत 0.01 आहे.
१. प्रश्न १:
\( \log_5{(125 \cdot 25)} \) ची किंमत काढा.
चर्चा:
आपल्याला माहित आहे की \(125 = 5^3\) आणि \(25 = 5^2\). तर:
\[
\log_5{(125 \cdot 25)} = \log_5{(5^3 \cdot 5^2)}
\]
लॉगरिथमच्या गुणाकाराच्या गुणधर्मांवर आधारित:
\[
\log_5{(5^3 \cdot 5^2)} = \log_5{5^5}
\]
लॉगरिदमिक घातांकांच्या गुणधर्मांचा वापर करून:
\[
\log_5{5^5} = 5 \cdot \log_5{5}
\]
\(\log_5{5} = 1\) असल्याने:
\[
३.५ · १ = ३.५
\]
म्हणून, \( \log_5{(125 \cdot 25)} \) ची किंमत 5 आहे.
१. प्रश्न १:
\( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) ची किंमत काढा.
चर्चा:
आपल्याला माहित आहे की \(8 = 2^3\) आणि \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\). तर:
\[
\log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} = \log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})}
\]
लॉगरिथमच्या गुणाकाराच्या गुणधर्मांवर आधारित:
\[
\log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})} = \log_{2}{(2^{3 + 1/2})} = \log_{2}{(2^{3.5})}
\]
लॉगरिदमिक घातांकांच्या गुणधर्मांचा वापर करून:
\[
\log_{2}{(2^{3.5})} = 3.5 \cdot \log_{2}{2}
\]
\(\log_{2}{2} = 1\) असल्याने:
\[
३.५ · १ = ३.५
\]
म्हणून, \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) ची किंमत 3.5 आहे.
१. प्रश्न १:
जर \( \log_4{y} – \log_4{2} = 3 \) असेल, तर \( y \) ची किंमत काढा.
चर्चा:
लॉगरिदमिक भागाकाराच्या गुणधर्मांवर आधारित:
\[
\log_4{(\frac{y}{2})} = 3
\]
लॉगरिदमिक स्वरूपाचे घातांकी स्वरूपात रूपांतर करा:
\[
4^3 = \frac{y}{2}
\]
\(4^3\) ची गणना:
\[
५^४ = ६२५
\]
तर:
\[
64 = \frac{y}{2}
\]
तर:
\[
y = 64 · 2 = 128
\]
म्हणून, \( y \) ची किंमत 128 आहे.
१. प्रश्न १:
\( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) ची किंमत काढा.
चर्चा:
आपल्याला माहित आहे की \(36 = 6^2\). तर:
\[
\log_{6}{\frac{1}{36}} = \log_{6}{(6^{-2})}
\]
लॉगरिदमिक घातांकांच्या गुणधर्मांचा वापर करून:
\[
\log_{6}{(6^{-2})} = -2 \cdot \log_{6}{6}
\]
\(\log_{6}{6} = 1\) असल्याने:
\[
-2 · 1 = -2
\]
म्हणून, \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) ची किंमत -2 आहे.
निष्कर्ष
लॉगरिदम हे विविध वैज्ञानिक आणि अभियांत्रिकी उपयोगांमध्ये एक अत्यंत उपयुक्त गणितीय साधन आहे. लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म समजून घेतल्यास अनेक समस्या सोडवणे सोपे होऊ शकते. या लेखात विविध संदर्भांमध्ये वारंवार उद्भवणाऱ्या अनेक समस्या मांडल्या आहेत आणि लॉगरिदमवर चर्चा केली आहे. या संकल्पनांचा सराव करणे आणि त्या समजून घेणे, लॉगरिदम या विषयात प्रावीण्य मिळवण्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल.
