संमिश्र संख्यांवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न

संमिश्र संख्यांवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न

संमिश्र संख्या हा उच्च माध्यमिक आणि महाविद्यालयीन अशा दोन्ही स्तरांवरील गणितातील एक वारंवार आढळणारा विषय आहे. संमिश्र संख्यांचे दोन भाग असतात: एक वास्तव भाग आणि एक काल्पनिक भाग. पारंपरिक चिन्हावलीनुसार, संमिश्र संख्या \( z = a + bi \) अशी लिहिली जाते, जिथे \( a \) आणि \( b \) या वास्तव संख्या आहेत, आणि \( i \) हा काल्पनिक एकक असून त्याचा गुणधर्म \( i^2 = -1 \) असा आहे. या लेखात संमिश्र संख्यांसंबंधी अनेक उदाहरणे आणि त्यांच्यावरील चर्चा समाविष्ट असेल, ज्यामध्ये मूलभूत क्रियांपासून ते समस्या-निवारणातील उपयोगांपर्यंतच्या बाबींचा समावेश आहे.

नमुना प्रश्न आणि चर्चा

१. संमिश्र संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकी

प्रश्न १
चला \( z_1 = 3 + 4i \) आणि \( z_2 = 1 – 2i \). \( z_1 + z_2 \) आणि \( z_1 – z_2 \) गणना करा.

चर्चा
संमिश्र संख्यांची बेरीज किंवा वजाबाकी करण्यासाठी, आपण फक्त वास्तव भागावर वास्तव संख्या आणि काल्पनिक भागावर काल्पनिक संख्यांची क्रिया करतो.

जोड:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]

वजाबाकी:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]

तर, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) आणि \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).

२. संमिश्र संख्यांचा गुणाकार

प्रश्न १
\( z_1 = 2 + 3i \) आणि \( z_2 = 4 – i \) यांचा गुणाकार करा.

चर्चा
दोन संमिश्र संख्यांचा गुणाकार करण्यासाठी, आपण बीजगणिताच्या वितरणात्मक गुणधर्माचा वापर करतो:

\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]

आपण प्रत्येक घटकाचा गुणाकार करतो:

\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]

\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]

\( i^2 = -1 \) असल्याने:

\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]

म्हणून, गुणाकार \( z_1 \cdot z_2 \) हा \( 11 + 10i \) आहे.

३. संमिश्र संख्यांचे विभाजन

प्रश्न १
\( z_1 = 3 + 4i \) चा \( z_2 = 1 – i \) ने भागाकार करा.

चर्चा
एखाद्या संमिश्र संख्येचा भागाकार करण्यासाठी, आपण त्या संख्येच्या अंशाला आणि छेदाला, छेदाच्या संयुग्मीने गुणतो. \( 1 – i \) ची संयुग्मी \( 1 + i \) आहे.

\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]

चला, आधी छेद काढूया:

\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]

आता आपण अंशाची गणना करू:

\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]

तर, निकाल असा आहे:

\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]

४. संमिश्र संख्यांचे मापांक आणि अंश

प्रश्न १
\( z = 1 + i \) चे मापांक आणि कोनांक निश्चित करा.

चर्चा
संमिश्र संख्या \( z = a + bi \) चे मापांक आहे:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

\( z = 1 + i \) साठी, आपल्याकडे \( a = 1 \) आणि \( b = 1 \) आहे:

\[
|z| = √1² + 1² = √2
\]

संमिश्र संख्येचा कोन म्हणजे धन वास्तव अक्षाशी तयार केलेला कोन \( \theta \), जो आरंभबिंदूपासून \( (a, b) \) या बिंदूच्या दिशेने मोजला जातो.

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]

\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]

म्हणून, \( z = 1 + i \) चा मापांक \( \sqrt{2} \) आहे आणि कोनांक \( \frac{\pi}{4} \) आहे.

५. घातांकी स्वरूप आणि यूलर नमुना

प्रश्न १
संमिश्र संख्या \( z = 1 + i \) चे घातांक रूपात रूपांतर करा.

चर्चा
यूलरच्या सूत्राचा वापर करून संमिश्र संख्यांचे घातांकी रूप:

\[
z = re^{i\theta}
\]

येथे \( r \) हा मापांक आहे आणि \( \theta \) हा कोन आहे. मागील चर्चेवरून आपल्याला माहित आहे की:

\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]

तर, घातांकी रूप असे आहे:

\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]

६. संमिश्र संख्यांची मुळे

प्रश्न १
संमिश्र संख्या \( z = -1 \) चे वर्गमूळ काढा.

चर्चा
संमिश्र संख्यांची वर्गमुळे ध्रुवीय किंवा घातांकी रूप वापरून काढता येतात. आपण \( z = -1 \) चे घातांकी रूपात रूपांतर करतो:

\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]

\( e^{i\pi} \) चे वर्गमूळ खालीलप्रमाणे लिहिता येते:

\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]

\( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), आणि \( k = 0, 1 \) असताना:

\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]

\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]

म्हणून, \( -1 \) ची वर्गमुळे \( i \) आणि \( -i \) आहेत.

७. वर्गसमीकरणांमधील उपयोजने

प्रश्न १
वर्गसमीकरण \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) सोडवा.

चर्चा
आपण वर्गसमीकरणाचे सूत्र वापरू शकतो:

\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

समीकरण \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) साठी:

\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]

\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]

म्हणून, \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) ची उकल \( z = -2 + 3i \) आणि \( z = -2 – 3i \) आहेत.

निष्कर्ष

संमिश्र संख्या ही एक अतिशय व्यापक गणितीय संकल्पना असून तिचे अनेक उपयोग आहेत. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार यांसारख्या मूलभूत क्रिया, तसेच मॉड्युलस आणि आर्गुमेंटची गणना कशी करायची हे समजून घेतल्यास, आपण संमिश्र संख्यांशी संबंधित विविध समस्या सोडवू शकतो. आशा आहे की, वरील उदाहरणे तुम्हाला हा विषय अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यास आणि त्यात प्राविण्य मिळवण्यास मदत करतील.