सहसंबंध विश्लेषणाचे उदाहरण प्रश्न आणि चर्चा
सहसंबंध विश्लेषण ही दोन चलांमधील संबंधाची पातळी निश्चित करण्यासाठी वापरली जाणारी एक सांख्यिकीय पद्धत आहे. दोन चल एकमेकांशी किती जवळून संबंधित आहेत हे समजून घेण्यासाठी, अर्थशास्त्र, मानसशास्त्र, वैद्यकशास्त्र आणि समाजशास्त्र यांसारख्या विविध विषयांमध्ये या विश्लेषणाचा वारंवार वापर केला जातो. या लेखात, आपण सहसंबंध विश्लेषणाची संकल्पना समजण्यास मदत करण्यासाठी अनेक उदाहरणे आणि त्यावरील चर्चा पाहणार आहोत.
सहसंबंध विश्लेषण समजून घेणे
दोन संख्यात्मक चलांमधील संबंधाची तीव्रता आणि दिशा मोजण्यासाठी सहसंबंध विश्लेषणाचा वापर केला जातो. हे सहसंबंध मूल्य सामान्यतः सहसंबंध गुणांक वापरून व्यक्त केले जाते, जे -1 ते 1 पर्यंत असू शकते. या मूल्यांचा अर्थ खालीलप्रमाणे लावला जाऊ शकतो:
– +1 : परिपूर्ण सकारात्मक सहसंबंध. दोन्ही चल एकाच दिशेने जातात.
– 0 : कोणताही सहसंबंध नाही. दोन चलांमध्ये स्पष्ट रेषीय संबंध नाही.
– -1 : परिपूर्ण नकारात्मक सहसंबंध. दोन्ही चल विरुद्ध दिशांनी जातात.
सर्वात जास्त वापरला जाणारा सहसंबंध गुणांक पिअर्सन सहसंबंध आहे. तथापि, स्पीअरमन आणि केंडल यांसारख्या इतर सहसंबंध पद्धती देखील आहेत, ज्या क्रमिक किंवा अरेखीय डेटासाठी अधिक योग्य आहेत.
सहसंबंध विश्लेषणाचे टप्पे
१. डेटा संकलन: विश्लेषण करायच्या असलेल्या दोन व्हेरिएबल्ससाठी डेटा गोळा करा.
२. डेटा व्हिज्युअलायझेशन: दोन व्हेरिएबल्समधील संबंधाचा नमुना पाहण्यासाठी स्कॅटर प्लॉट तयार करा.
३. सहसंबंध गुणांकाची गणना: पिअरसन, स्पीअरमन किंवा केंडल सहसंबंध गुणांकाची गणना करा.
४. निकालांचे विश्लेषण: सहसंबंध गुणांकाच्या मूल्याच्या आधारे संबंधाची तीव्रता आणि दिशा निश्चित करा.
५. सार्थकता चाचणी: आढळलेला सहसंबंध सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहे की नाही हे ठरवा.
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
प्रश्न १: पिअरसन सहसंबंध
५ व्यक्तींची उंची (सेमी) आणि वजन (किलो) यांची माहिती खालीलप्रमाणे दिली आहे:
| व्यक्ती | उंची (सेमी) | वजन (किलो) |
|——-|————-|————|
| अ | १६० | ५५ |
| बी | १६५ | ६० |
| सी | १७० | ६५ |
| डी | १७५ | ७० |
| ई | १८० | ७५ |
डेटासाठी पिअरसन सहसंबंध गुणांक काढा.
चर्चा:
१. सरासरीची गणना करणे:
– सरासरी उंची (X̄) = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170
– सरासरी वजन (Ȳ) = (55 + 60 + 65 + 70 + 75) / 5 = 65
२. मध्यापासून विचलनाची गणना करणे:
– उच्च विचलन: (160 – 170), (165 – 170), (170 – 170), (175 – 170), (180 – 170)
– तीव्र विचलन: (५५ – ६५), (६० – ६५), (६५ – ६५), (७० – ६५), (७५ – ६५)
३. विचलन गुणाकाराची गणना करणे:
– (१८०-१७०)(७५-६५) = १० १० = १००
– (१८०-१७०)(७५-६५) = १० १० = १००
– (१८०-१७०)(७५-६५) = १० १० = १००
– (१८०-१७०)(७५-६५) = १० १० = १००
– (१८०-१७०)(७५-६५) = १० १० = १००
एकूण = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
४. विचलनाच्या वर्गाची गणना करणे:
– उंची: (160-170)², (165-170)², (170-170)², (175-170)², (180-170)²
– वजन: (५५-६५)², (६०-६५)², (६५-६५)², (७०-६५)², (७५-६५)²
उंचीसाठी:
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
एकूण = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
वजनासाठी:
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
– (१८०-१७०)² = १००
एकूण = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
५. पिअरसन सहसंबंध गुणांकाची गणना करणे:
\[
r = \frac{\sum ((X – X̄)(Y – Ȳ))}{\sqrt{\sum (X – X̄)² \sum (Y – Ȳ)²}}
\]
\[
r = \frac{250}{\sqrt{250 \times 250}} = \frac{250}{250} = 1
\]
निष्कर्ष: पिअरसन सहसंबंध गुणांकाचे १ हे मूल्य उंची आणि वजन यांच्यात एक परिपूर्ण सकारात्मक संबंध असल्याचे दर्शवते.
प्रश्न २: स्पीअरमन सहसंबंध
दोन चलांचा क्रमवारी डेटा खालीलप्रमाणे दिला आहे:
| व्यक्ती | चल X | चल Y |
|——-|————|————|
| अ | १ | ३ |
| बी | २ | १ |
| सी | ३ | ४ |
| डी | ४ | २ |
| ई | ५ | ५ |
डेटाच्या आधारे स्पीअरमन सहसंबंध गुणांकाची गणना करा.
चर्चा:
१. क्रमवारीतील फरकाची (d) गणना:
– X आणि Y च्या क्रमवारीसाठी:
– अ: १ – ३ = -२
– बी: २ – १ = १
– C: 3 – 4 = -1
– D: 4 – 2 = 2
– ई: ५ – ५ = ०
२. क्रमवारीतील फरकाच्या वर्गाची गणना (d²):
– (-2)² = 4
– (1)² = 1
– (-1)² = 1
– (2)² = 4
– (0)² = 0
एकूण (Σd²) = 4 + 1 + 1 + 4 + 0 = 10
३. स्पीअरमन सहसंबंध गुणांकाची गणना करणे:
\[
r_s = 1 – \frac{6 \sum d^2}{n(n^2 – 1)}
\]
\[
r_s = 1 – \frac{6 \times 10}{5(5^2 – 1)} = 1 – \frac{60}{120} = 1 – 0.5 = 0.5
\]
निष्कर्ष: स्पीअरमनच्या सहसंबंध गुणांकाचे 0.5 मूल्य हे X आणि Y या चलांमध्ये मध्यम सकारात्मक संबंध असल्याचे दर्शवते.
निष्कर्ष
वरील उदाहरणांवरून आपल्याला दिसून येते की, दोन चलांमधील संबंधाची तीव्रता आणि दिशा निश्चित करण्यासाठी सहसंबंध विश्लेषणाचा उपयोग कसा केला जाऊ शकतो. पिअर्सन सहसंबंध गुणांक रेषीय संबंध असलेल्या संख्यात्मक माहितीसाठी वापरला जातो, तर स्पीअरमन सहसंबंध गुणांक क्रमवाचक किंवा अरेखीय माहितीसाठी वापरला जातो. ही तंत्रे समजून घेऊन आणि त्यात प्राविण्य मिळवून, आपण माहितीचे अधिक चांगल्या प्रकारे विश्लेषण करू शकतो आणि अभ्यासाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये अधिक अचूक निष्कर्ष काढू शकतो.
