परवलयात फिरणाऱ्या वस्तूचे स्थान निश्चित करण्यासाठीच्या प्रश्नाचे उदाहरण

परवलयात फिरणाऱ्या वस्तूची स्थिती निश्चित करण्यावरील प्रश्नांची ३ उदाहरणे

२. चेंडू ३० अंशाच्या कोनात वर फेकला जातो.^o वस्तू 12 m/s च्या सुरुवातीच्या वेगाने क्षैतिजरित्या गतिमान आहे. 1 सेकंद गतिमान झाल्यानंतर वस्तूची स्थिती निश्चित करा! गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग = १५ मी/से²
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
कोन (θ) = ३०^o
केसेपाटण सुरुवात (v)_o) = ४० मी/से
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले: १ सेकंद हलल्यानंतर चेंडूची स्थिती
उत्तर :
सर्वप्रथम चेंडूच्या सुरुवातीच्या वेगाचे क्षैतिज आणि उभ्या दिशेतील घटक मोजा.
चेंडूचा क्षैतिज दिशेतील प्रारंभिक वेग:
v_ox = वि_o cos θ = (12 m/s)(cos 60^o) = (४० मी/से)(०.५) = २० मी/से

चेंडूचा उभ्या दिशेतील सुरुवातीचा वेग:
v_oy = वि_o sin θ = (12 m/s)(sin 60^o) = (12 m/s)(0,5√3) = 6√3 m/s

पॅराबोलिक गती ही क्षैतिज आणि उभ्या गतीचे संयोजन मानली जाते. क्षैतिज गतीचे विश्लेषण खालीलप्रमाणे केले जाते: एकसमान रेषीय गतीतर उभ्या दिशेतील हालचालीचे विश्लेषण असे केले जाते वरच्या दिशेने उभ्या गतीक्षैतिज दिशेतील वस्तूची स्थिती, सरळ रेषेत स्थिर गतीने जाणाऱ्या वस्तूचे अंतर मोजण्याप्रमाणे मोजली जाते, याउलट उभ्या दिशेतील वस्तूची स्थिती, उभ्या दिशेने वर जाणाऱ्या वस्तूची उंची मोजण्याप्रमाणे मोजली जाते.

आडव्या दिशेतील चेंडूची स्थिती:
हे ज्ञात आहे की:
चेंडूचा क्षैतिज दिशेतील वेग (v_x) = ४० मी/से
एकसमान सरळ गतीमध्ये, वस्तूची गती स्थिर असते, त्यामुळे वस्तूची सुरुवातीची गती ही वस्तूच्या अंतिम गतीइतकीच असते.
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
विचारले: वस्तूंचे अंतर
उत्तर :
प्रति सेकंद ६ मीटर वेगाचा अर्थ असा आहे की चेंडू प्रत्येक सेकंदाला ६ मीटर पुढे जातो. १ सेकंदानंतर चेंडूने कापलेले अंतर ६ मीटर आहे. म्हणून, चेंडूची क्षैतिज स्थिती ६ मीटर आहे.

उभ्या दिशेतील चेंडूची स्थिती:
वरच्या दिशेने होणाऱ्या उभ्या गतीची समस्या सोडवताना, सदिश राशी ज्या सदिशाची दिशा वर असते त्याला धन चिन्ह दिले जाते, तर ज्या सदिशाची दिशा खाली असते त्याला ऋण चिन्ह दिले जाते.
हे ज्ञात आहे की:
चेंडूचा प्रारंभिक वेग (v_o) = 6√3 m/s (धनात्मक कारण सुरुवातीच्या वेगाची दिशा वरच्या दिशेने आहे)
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = -10 m/s²² (नकारात्मक, कारण गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण पृथ्वीच्या केंद्राकडे, म्हणजेच खाली असते)
विचारले: १ सेकंद हलल्यानंतर चेंडूची उंची (ता)
उत्तर :
हे माहित आहे की v_o, t, g आणि h विचारले असता, वापरलेले सूत्र आहे h = v_o टी + १/२ जीटी²
h = v_o टी + १/२ जीटी² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1,7) – 5 = 10,2 – 5 = 5,2 मीटर.

१ सेकंद हलल्यानंतर चेंडूची स्थिती:
चेंडूचे क्षैतिज दिशेतील स्थान (x) = ६ मीटर
उभ्या दिशेतील (y) चेंडूचे स्थान = ५.२ मीटर
म्हणून चेंडूच्या स्थानाचे निर्देशक (x ; y) = (6 ; 5,2) आहेत.

३. गोळी ३०° च्या कोनातून वरच्या दिशेने झाडली जाते.^o जमिनीपासून २० मीटर उंचीवरील एका बिंदूपासून गोळी क्षैतिज दिशेने फेकली जाते. गोळीचा सुरुवातीचा वेग ५० मी/से आहे. १ सेकंद प्रवास केल्यानंतर गोळी किती उंचीवर पोहोचेल? गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² आहे.²
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
कोन (θ) = ३०^o
गोळीची सुरुवातीची उंची (h_o) = १० मीटर
गोळीचा प्रारंभिक वेग (v_o) = ४० मी/से
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले: बुलेटची उंची
उत्तर :
गोळीचा उभ्या दिशेतील सुरुवातीचा वेग:
सर्वप्रथम चेंडूच्या उभ्या दिशेतील सुरुवातीच्या वेगाच्या घटकाची गणना करा.
v_oy = वि_o sin θ = (50 m/s)(sin 30^o) = (४० मी/से)(०.५) = २० मी/से

बुलेटची उंची:
गोळीची उंची ही उभ्या दिशेने वरच्या बाजूला होणाऱ्या गतीमधील उंची निश्चित करून मोजली जाते.
वरच्या दिशेने होणाऱ्या उभ्या गतीची गणिते सोडवताना, वरच्या दिशेने असलेल्या सदिश राशीला धन चिन्ह दिले जाते आणि खालच्या दिशेने असलेल्या सदिश राशीला ऋण चिन्ह दिले जाते.
हे ज्ञात आहे की:
गोळीचा प्रारंभिक वेग (v_o) = 25 m/s (धनात्मक कारण सुरुवातीच्या वेगाची दिशा वरच्या दिशेने आहे)
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = -10 m/s²² (नकारात्मक, कारण गुरुत्वाकर्षण प्रवेगाची दिशा पृथ्वीच्या केंद्राकडे, खाली असते)
विचारले: बुलेटची उंची (हे)
उत्तर :
हे माहित आहे की v_o, t, g आणि h विचारले असता, वापरलेले सूत्र आहे h = v_o टी + १/२ जीटी²
h = v_o टी + १/२ जीटी² = (25)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 मीटर.
१ सेकंद हलल्यानंतर गोळीची उंची, गोळी झाडलेल्या जागेपासून २० मीटर किंवा जमिनीच्या पातळीपासून ४० मीटर असते.

३. एक गोटी १० मीटर उंचीवरून उजवीकडे क्षैतिज दिशेने १० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने फेकली जाते. १ सेकंद हलल्यानंतर गोटीची स्थिती निश्चित करा! गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण = १० मी/से²²
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
सुरुवातीची उंची (h) = १० मीटर
प्रारंभिक वेग (v_o) = ४० मी/से
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले: १ सेकंद हलल्यानंतर गोटीची स्थिती
उत्तर :
गोटीचा मार्ग चित्रात दाखवल्याप्रमाणे आहे. जर मार्ग चित्रात दाखवल्याप्रमाणे लंबवर्तुळाकार असेल, तर वस्तूची उभ्या दिशेतील स्थिती मुक्त पतनातील उंची मोजण्याप्रमाणे निश्चित केली जाते, तर वस्तूची आडव्या दिशेतील स्थिती एकसमान सरळ गतीतील अंतर मोजण्याप्रमाणे निश्चित केली जाते.
सुरुवातीला गोटी आडव्या दिशेने जाते, त्यामुळे आडव्या दिशेतील गोटीचा सुरुवातीचा वेग (v)_ox) 10 m/s आहे, तर उभ्या दिशेतील मार्बलचा सुरुवातीचा वेग (v_oy) 0 m/s आहे.

आडव्या दिशेतील गोळ्यांची स्थिती:
हे ज्ञात आहे की:
क्षैतिज दिशेतील गोटीचा वेग (v_x) = ४० मी/से
एकसमान सरळ गतीमध्ये, वस्तूची गती स्थिर असते, त्यामुळे वस्तूची सुरुवातीची गती ही वस्तूच्या अंतिम गतीइतकीच असते.
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
विचारले: वस्तूंचे अंतर
उत्तर :
१० मीटर प्रति सेकंद वेगाचा अर्थ असा आहे की गोटी प्रत्येक सेकंदाला १० मीटर पुढे जाते. १ सेकंद पुढे गेल्यानंतर गोटीने कापलेले अंतर १० मीटर आहे. म्हणून, गोटीची क्षैतिज स्थिती १० मीटर आहे.

उभ्या दिशेतील गोळ्यांची स्थिती:
म्हणून विश्लेषण केले मुक्त पतन गती.
हे ज्ञात आहे की:
वेळेचे अंतर (t) = १० सेकंद
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले: १ सेकंद हलल्यानंतर गोटीची उंची (ता)
उत्तर :
t आणि g दिले आहेत आणि h विचारला आहे, म्हणून वापरलेले सूत्र आहे h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt² = 1/2 (10)(1²) = (5)(1) = 5 मीटर.
१ सेकंदानंतर, गोटी ५ मीटर खाली पडते. जमिनीपासून गोटीची उंची १० मीटर – ५ मीटर = ५ मीटर आहे.

१ सेकंद हलल्यानंतर गोटीची स्थिती:
मार्बलचे क्षैतिज दिशेतील स्थान (x) = १० मीटर
उभ्या दिशेतील (y) संगमरवराचे स्थान = ५ मीटर
म्हणून गोटीच्या स्थानाचे निर्देशक (x ; y) = (10 ; 5) आहेत.

[इंग्रजी : प्रक्षेप्य गती समस्या सोडवणे – वस्तूचे स्थान निश्चित करणे]