यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमावरील उदाहरणादाखल प्रश्न

यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमावरील प्रश्नांची १६ उदाहरणे

मुक्त पतन गतीमध्ये यांत्रिक ऊर्जा अक्षय्यतेचा नियम

१. २ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा एक नारळ ६ मीटर उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडतो. जमिनीवर पोहोचल्यावर नारळाची गतिज ऊर्जा… g = १० मी/से²²
चर्चा
दिकेताहुई :
नारळाचे वस्तुमान (m) = २ किलो
उंची (h) = ५ मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले : गतिज ऊर्जा (EK)
उत्तर :

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
जर एखादी वस्तू मुक्तपणे खाली पडत असेल, तर तिला कोणताही आरंभिक वेग नसतो. आरंभिक वेग नसल्यामुळे, कोणतीही आरंभिक गतिज ऊर्जा नसते. सुरुवातीला, वस्तू ६ मीटर उंचीवर असते, त्यामुळे साहजिकच, वस्तूला आरंभिक गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा असते. म्हणून, आरंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM) ही आहे_o) ही गुरुत्वाकर्षण स्थितीज ऊर्जा (EP) आहे.
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(6) = 120 जूल

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
खाली जाताना, वस्तूची उंची कमी होते, त्यामुळे तिची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा कमी होते. गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा नष्ट होत नाही, उलट तिचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते. जेव्हा ती जमिनीवर पोहोचते, तेव्हा वस्तूची उंची जमिनीच्या उंचीइतकीच असते (h = 0), त्यामुळे तिची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा शून्य होते (h = 0, म्हणून EP = mgh = 0). सर्व गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते. अशाप्रकारे, अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM) ही असते_t) ही गतिज ऊर्जा (EK) आहे.
EM_t = EK = ½ mv²

यांत्रिक ऊर्जा अक्षय्यतेचा नियम :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
१२० = ईके
नारळ जमिनीवर पोहोचतो तेव्हा त्याची गतिज ऊर्जा 100 जूल असते.

2. २ किलो वस्तुमानाचा चेंडू मुक्त पतन चित्रात दाखवल्याप्रमाणे A या स्थानापासून. (g = 10 ms)^-2). बिंदू B वर पोहोचल्यावर, गतिज ऊर्जा ही स्थितिज ऊर्जेच्या २ पट असते, म्हणून जमिनीपासून बिंदू B ची उंची…

अ. ०.२ मीटर
बी. ०.३ मी
से. ०.६ मी
डी. ०.९ मी
ई. १.० मी

चर्चा
दिकेताहुई :
चेंडूचे वस्तुमान (m) = ०.५ किलोग्रॅम
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms²^-2
उंची अ (एच_A) = १० मीटर
विचारले : उंची बी (एच_B)
उत्तर :

जेव्हा चेंडू बिंदू B वर पोहोचतो, तेव्हा बिंदू B वरील चेंडूची गतिज ऊर्जा 2 पट असते गुरुत्वाकर्षण स्थितीज ऊर्जा चेंडू बिंदू B वर आहे.
EK = 2 EP
½ एमव्ही² = २ मिग्रॅ_B
½ व्ही² = २ घ_B
v² = 2(2)(10) h_B
v² = ४० तास_B
हितुंग केसेपाटन (v) चेंडू जेव्हा बिंदू A वरून पडल्यानंतर बिंदू B वर पोहोचतो.
v² = 2 gh = 2(10)(90–h_B) = 20(90–तास_B)
v बदला² वरील समीकरणात v सह² या समीकरणात.
v² = ४० तास_B
२०(९०–तास)_B) = ४० तास_B
एक्सएनयूएमएक्स – एक्सएनयूएमएक्स एच_B = ४० तास_B
७५ = २० तास_B + 20 ता_B
७५ = २० तास_B
h_B = 1800/60
h_B = 30 मीटर
योग्य उत्तर E आहे.

३. १ किलो वस्तुमानाची एक वस्तू ८० मीटर उंच असलेल्या बहुमजली इमारतीच्या छतावरून मुक्तपणे खाली पडते. जर हवेसोबतचे घर्षण दुर्लक्षित केले आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) १० m/s² असेल तर...² तर जेव्हा वस्तू जमिनीच्या पृष्ठभागावर पोहोचते तेव्हा तिची गतिज ऊर्जा...
चर्चा
दिकेताहुई :
मासा (m) = 1 किलो
उंची (h) = ८० मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले वस्तू जमिनीच्या पृष्ठभागावर पोहोचते तेव्हा तिची गतिज ऊर्जा (EK)
उत्तर :
वस्तू मुक्तपणे खाली पडतात, त्यामुळे वस्तूला सुरुवातीचा वेग नसतो. म्हणून, जेव्हा ती ८० मीटर उंचीवर असते, तेव्हा वस्तूला गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा असते, परंतु गतिज ऊर्जा नसते (v = 0, म्हणून EK = ½ mv²).² = 0). म्हणून प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP).

EM_o = EP = mgh = (1)(10)(80) = 800 जूल

मुक्त पतनादरम्यान, गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते. जेव्हा एखादी वस्तू जमिनीवर आदळते, तेव्हा तिची सर्व गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतरित होते. म्हणून, जेव्हा ती जमिनीवर पोहोचते, तेव्हा वस्तूकडे गतिज ऊर्जा असते परंतु गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा नसते (h = 0, म्हणून EP = mgh = 0). अशाप्रकारे, अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM) ही असते_t) = गतिज ऊर्जा (EK)

यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, सुरुवातीची यांत्रिक उर्जा ही अंतिम गतिज उर्जेइतकीच असते.
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
१२० = ईके
वस्तू जमिनीवर पोहोचते तेव्हा तिची गतिज ऊर्जा (EK) 800 जूल असते.

४. एक वस्तू जमिनीपासून १० मीटर उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडते. जर त्या वस्तूचे वस्तुमान ४ किलोग्रॅम असेल आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = १० मी/से² असेल तर...^-2 तर जमिनीपासून ५ मीटर उंचीवर वस्तूची गतिज ऊर्जा आणि वेग...

चर्चा
दिकेताहुई :
उंचीतील बदल (h) = 10 – 5 = 5 मीटर
मासा (m) = 4 किलो
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले ५ मीटर उंचीवरील वस्तूची गतिज ऊर्जा
उत्तर :
(अ) २ मीटर उंचीवरील वस्तूची गतिज ऊर्जा
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = (4)(10)(5) = 200 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = ईके
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, सुरुवातीची यांत्रिक उर्जा ही अंतिम यांत्रिक उर्जेइतकीच असते.
EM_o = ईएम_t
१२० = ईके
जमिनीपासून 5 मीटर उंचीवर असलेल्या वस्तूची गतिज ऊर्जा 200 जूल आहे.

(ब) ५ मीटर उंचीवर वस्तूचा वेग
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
ईपी = ईके
५० = ½ mv²
2(200) / 4 = v²
100 = वि²
व्ही = √४९००
v = १० मीटर/सेकंद
वस्तूचा वेग १० मीटर/सेकंद आहे

५. एक आंबा २ मीटर उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडतो. जर g = १० ms² असेल तर^-2यांत्रिक उर्जेच्या नियमाचा वापर करून, आंबा जमिनीवर आदळण्यापूर्वी त्याचा वेग काढा.
चर्चा
दिकेताहुई :
उंची (h) = ५ मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले जमिनीवर पडण्यापूर्वी आंब्याचा वेग (v)
उत्तर :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(2) = 20 m
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, सुरुवातीची यांत्रिक उर्जा ही अंतिम यांत्रिक उर्जेइतकीच असते.
EM_o = ईएम_t
८० मी = ½ mv²
८० = ½ व्ही²
2(20) = v²
40 = वि²
v = √40 = √(4)(10) = 2√10 मीटर/सेकंद
जमिनीवर आदळण्यापूर्वी आंब्याचा वेग 2√10 मीटर/सेकंद आहे.
हे लक्षात घेणे महत्त्वाचे आहे की आमच्या गणनेमध्ये आम्ही हवेच्या घर्षणाकडे दुर्लक्ष केले आहे. वास्तविक पाहता, जर कोणतीही वस्तू पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर मुक्तपणे खाली पडत असेल, तर हवेचे घर्षण देखील तिच्या गतीवर परिणाम करते, ज्यामुळे तिचा वेग वरील गणनेपेक्षा कमी असतो.

उभ्या गतीमध्ये वर आणि खाली यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनाचा नियम

६. १ किलोग्रॅम वस्तुमानाची एक वस्तू ४० मीटर उंच इमारतीच्या कडेवरून २ मीटर/सेकंदच्या सुरुवातीच्या वेगाने उभ्या दिशेने खाली फेकली जाते. जेव्हा ती वस्तू जमिनीपासून १० मीटर उंचीवर असेल, तेव्हा तिची गतिज ऊर्जा… g = १० मीटर/सेकंद²²

चर्चा
दिकेताहुई :
वस्तूचे वस्तुमान (m) = 1 kg
प्रारंभिक वेग (v_o) = ४० मी/से
उंचीतील बदल = ४० – १० = ३० मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले जमिनीपासून १० मीटर उंचीवर असलेल्या वस्तूची गतिज ऊर्जा
उत्तर :

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
सुरुवातीला, वस्तूमध्ये गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा असते.
प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP) = mgh = (1)(10)(30) = 300 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(2)² = ½ (4) = २ जूल
म्हणून सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा = सुरुवातीची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा + सुरुवातीची गतिज ऊर्जा = 300 + 2 = 302 जूल.

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
एखादी वस्तू खाली सरकते तेव्हा तिची उंची कमी होते, त्यामुळे तिची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा कमी होते. या गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते. ३० मीटर अंतर पार केल्यावर, किंवा जेव्हा वस्तू जमिनीपासून १० मीटर उंचीवर असते, तेव्हा तिच्या सर्व गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते.
म्हणून अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम गतिज ऊर्जा = प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = 300 + 2 = 302 जूल.

७. १ किलोग्रॅम वस्तुमानाची एक वस्तू १० मीटर/सेकंदच्या सुरुवातीच्या वेगाने उभ्या दिशेने वर फेकली जाते. (अ) सर्वोच्च बिंदूवरील गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (ब) वस्तूने गाठलेला सर्वोच्च बिंदू किंवा कमाल उंची निश्चित करा… g = १० मीटर/सेकंद²
चर्चा
दिकेताहुई :
वस्तूचे वस्तुमान (m) = 1 kg
प्रारंभिक वेग (v_o) = ४० मी/से
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले सर्वात उंच आणि सर्वात खालच्या बिंदूवरील गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा
उत्तर :
(अ) सर्वोच्च बिंदूवरील गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
सुरुवातीला वस्तूला गतिज ऊर्जा असते, परंतु गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा नसते. सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा = सुरुवातीची गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv²_o² = ½ (1)(10)² = ½ (100) = 50 जूल.
 
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
उभ्या दिशेने वर गेल्यावर, वस्तूची उंची वाढते, ज्यामुळे तिची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा वाढते. ही गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा आपोआप निर्माण होत नाही, तर ती गतिज ऊर्जेपासून मिळते. आपल्या कमाल उंचीवर किंवा सर्वोच्च बिंदूवर, वस्तू दिशा बदलण्यापूर्वी क्षणभर स्थिर असते. ती क्षणभर स्थिर असल्यामुळे, तिचा वेग शून्य असतो आणि तिची गतिज ऊर्जा देखील शून्य असते. सर्व गतिज ऊर्जेचे गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते.
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)

यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेचा नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
ईके = ईपी
५० = ईपी
गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा ५० जूल आहे.

(ब) सर्वोच्च बिंदू किंवा कमाल उंची
EP = mgh
१.२५ = (०.१)(१०) तास
७५ = २० तास
h = ५० / १० = ५ मीटर
एखाद्या वस्तूने गाठलेला सर्वोच्च बिंदू किंवा कमाल उंची जमिनीच्या पृष्ठभागापासून ५ मीटर आहे.

 

उतरत्या सपाटीवरील गतीमध्ये यांत्रिक ऊर्जेच्या अक्षय्यतेचा नियम

८. स्थिर अवस्थेतून, एक ठोकळा घर्षणाशिवाय एका उतरत्या पृष्ठभागावरून घसरतो. जेव्हा तो ठोकळा उतरत्या पृष्ठभागाच्या तळाशी पोहोचतो, तेव्हा त्याचा वेग… g = १० मी/से²
चर्चा
दिकेताहुई :
उंची (h) = ५ मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले ब्लॉक उतरत्या पातळीच्या तळाशी पोहोचतो तेव्हा त्याचा वेग (v)
उत्तर :
जेव्हा तो ठोकळा ८ मीटर उंचीवर असतो, तेव्हा त्याच्यामध्ये गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा असते, परंतु गतिज ऊर्जा नसते कारण तो अजून हललेला नसतो. म्हणून, ठोकळ्याची सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा ही गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा असते.
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(8) = 80 m
जेव्हा ठोकळा खाली सरकू लागतो, तेव्हा त्याची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतरित होऊ लागते. जेव्हा तो उताराच्या तळाशी पोहोचतो, तेव्हा त्याची सर्व गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतरित होते. अशाप्रकारे, ठोकळ्याची अंतिम यांत्रिक ऊर्जा ही गतिज ऊर्जा असते.
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, सुरुवातीची यांत्रिक उर्जा ही अंतिम यांत्रिक उर्जेइतकीच असते.
EM_o = ईएम_t
८० मी = ½ mv²
८० = ½ व्ही²
160 = वि²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 m/s
उतरत्या सपाटीच्या तळाशी असलेल्या ठोकळ्याचा वेग 4√10 मीटर/सेकंद आहे.

९. १ किलोग्रॅम वस्तुमानाची एक वस्तू, जी सुरुवातीला स्थिर आहे, तिला ८ मीटर लांबीच्या एका गुळगुळीत उतरत्या सपाटीच्या वरच्या टोकावरून सोडले जाते. ती वस्तू उतरत्या सपाटीवर ५ मीटर घसरल्यानंतर तिची गतिज ऊर्जा निश्चित करा…. (g = १० मी/से²)²)
चर्चा
दिकेताहुई :
वस्तूचे वस्तुमान (m) = 0,2 kg
वस्तू ज्या कर्णातून जाते त्याची लांबी = ५ मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले एखादी वस्तू ५ मीटर घसरल्यानंतर तिची गतिज ऊर्जा (EK)
उत्तर :
ही समस्या सोडवण्यातील पहिली पायरी म्हणजे वस्तू उतरत्या पृष्ठभागावरून ५ मीटर घसरल्यानंतर तिच्या उंचीत होणारा बदल मोजणे.
४ शिवाय^o = उभ्या बाजूची लांबी / कर्णाची लांबी
०.५ = उभ्या बाजूची लांबी / ५
उभ्या बाजूची लांबी = (0,5)(5) = 2,5 मीटर
वस्तूच्या उंचीतील बदल २.५ मीटर आहे.

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(2,5) = 25 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = ईके
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, सुरुवातीची यांत्रिक उर्जा ही अंतिम यांत्रिक उर्जेइतकीच असते.
EM_o = ईएम_t
१२० = ईके
वस्तू ५ मीटर घसरल्यानंतर तिची गतिज ऊर्जा २५ जूल आहे.

 

वक्र प्रतलातील गतीमधील यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेचा नियम

१०. १ किलोग्रॅम वस्तुमानाची एक वस्तू कोणत्याही सुरुवातीच्या वेगाशिवाय, घर्षणाशिवाय ५ मीटर उंचीवरून घसरते. सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूची गतिज ऊर्जा आणि वेग… g = १० मी/से²
चर्चा
दिकेताहुई :
वस्तूचे वस्तुमान (m) = 1 kg
उंचीतील बदल (h) = ५ मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूची गतिज ऊर्जा (EK) आणि वेग (v)
उत्तर :

(अ) सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूची गतिज ऊर्जा
जेव्हा वस्तू ५ मीटर उंचीवर असते आणि तिची हालचाल सुरू झालेली नसते, तेव्हा तिच्यात गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा असते, पण गतिज ऊर्जा नसते, कारण ती स्थिर असते. त्यामुळे, वस्तूची हालचाल सुरू होण्यापूर्वीची सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा ही गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा असते. एकदा का वस्तू खाली सरकू लागली की, गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेत रूपांतर होऊ लागते. जेव्हा ती सर्वात खालच्या बिंदूवर पोहोचते, तेव्हा सर्व गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेत रूपांतर होते. त्यामुळे, अंतिम यांत्रिक ऊर्जा ही गतिज ऊर्जा असते.
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(5) = 50 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा
EM_t = EK = ½ mv_t²
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, सुरुवातीची यांत्रिक उर्जा ही अंतिम यांत्रिक उर्जेइतकीच असते..
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
१२० = ईके
सर्वात खालच्या बिंदूवर गतिज ऊर्जा (EK) 50 जूल आहे.

(ब) सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूचा वेग
पहिला मार्ग:
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेचा नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितीज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
५० = ½ mv²
2(50) / m = v²
१०० / १ = व्ही²
100 = वि²
व्ही = √४९००
v = १० मीटर/सेकंद
 
दुसरा मार्ग:
यांत्रिक ऊर्जा अक्षय्यतेचा नियम :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितीज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(5) = v²
100 = वि²
व्ही = √४९००
v = १० मीटर/सेकंद
सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूचा वेग 10 m/s आहे.

११. २ किलोग्रॅम वस्तुमानाची एक वस्तू सुरुवातीला स्थिर असून, ती जमिनीपासून १० मीटर उंचीवरून घर्षणाशिवाय घसरते. जमिनीपासून २ मीटर उंचीवर त्या वस्तूची गतिज ऊर्जा आणि वेग… g = १० मी/से²
चर्चा
दिकेताहुई :
वस्तूचे वस्तुमान (m) = 2 kg
उंचीतील बदल (h) = 10 – 2 = 8 मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले जमिनीच्या पृष्ठभागापासून 2 मीटर उंचीवर वस्तूची गतिज ऊर्जा (EK) आणि वेग (v).
उत्तर :
या समस्येचे निराकरण मागील समस्येच्या निराकरणासारखेच आहे.

(अ) २ मीटर उंचीवरील वस्तूची गतिज ऊर्जा
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(8) = 160 जूल
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा
EM_t = EK = ½ mv_t²
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, सुरुवातीची यांत्रिक उर्जा ही अंतिम यांत्रिक उर्जेइतकीच असते..
EM_o = ईएम_t
ईपी = ईके
१२० = ईके
2 मीटर उंचीवर गतिज ऊर्जा (EK) 160 जूल आहे.

(ब) सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूचा वेग
पहिला मार्ग:
यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेचा नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितीज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
५० = ½ mv²
160 = ½ (2) v²
160 = वि²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 मीटर/सेकंद

दुसरा मार्ग:
यांत्रिक ऊर्जा अक्षय्यतेचा नियम :
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण स्थितीज ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(8) = v²
160 = वि²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 मीटर/सेकंद
2 मीटर उंचीवर असलेल्या वस्तूचा वेग 4√10 मीटर/सेकंद आहे.

12. हिवाळ्यात स्वीडनमधील पर्वतांमध्ये आइस स्केटिंग स्पर्धा आयोजित केल्या जातात. आकृती २ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे, आइस स्केटर्स A उंचीवरून खाली घसरतात.

जर स्कीअरचा सुरुवातीचा वेग शून्य असेल आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 ms असेल तर^-2तर, B उंचीवर खेळाडूचा वेग...

A. √५ एमएस^-1

ब. 5 √५ एमएस^-1

क. 10 √५ एमएस^-1

D. 20 √५ एमएस^-1

ई. 25 √५ एमएस^-1

चर्चा

हे ज्ञात आहे की:

प्रारंभिक वेग (v_o) = १.१३३

सुरुवातीची उंची (h_o) = ५० मी – १० मी = ४० मी

अंतिम उंची (h)_t) = १.१३३

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = ६५ एमएस^-2

विचारले: अंतिम वेग (v_t)

उत्तर :

गतिज ऊर्जेतील बदल:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वि_o²) = 1/2 मी (व्ही_t² - 0) = १/२ मिलीव्होल्ट_t²

स्थितिज ऊर्जेतील बदल:

ΔEP = mg (h_t - एच_o) = मी (10)(0-40) = मी (10)(-40) = – 400 मी

अंतिम वेग (v) ची गणना करा_t) यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमाचे सूत्र वापरून:

0 = Δईके + ΔEP

० = १/२ मिलीव्होल्ट_t² - 400 मी

१/२ एमव्ही_t² = 400 मी

२५/१५ व्ही_t² = 400

v_t² = 2(400)

v_t = √(400)(2)

v_t = ४√२ मी/से

योग्य उत्तर D आहे.

१३. १ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा एक चेंडू खालील चित्रात दाखवल्याप्रमाणे एका गुळगुळीत वक्र मार्गावरून A स्थितीपासून C स्थितीपर्यंत घसरत सोडला जातो. जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण = 10 ms^-2तर, चेंडू C बिंदूवर असताना त्याची गतिज ऊर्जा (Ek) … असेल.

अ. २० जूल
बी. १६ जूल
सी. ३.२ जूल
डी. १.६ जूल
ई. १० जूल

चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
चेंडूचे वस्तुमान (m) = ०.५ किलोग्रॅम
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
उंचीतील बदल (h) = ०.७५ मी

प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_o) = mgh = (1)(10)(0,75) = 7,5 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = ½ mv_o² = ½ मी (0²) = १.१३३
अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
प्रश्न: चेंडू C बिंदूवर असताना त्याची गतिज ऊर्जा (EK) किती असेल?
उत्तर :

यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेच्या नियमानुसार, चेंडूची त्याच्या सुरुवातीच्या स्थितीतील यांत्रिक ऊर्जा ही त्याच्या अंतिम स्थितीतील अंतिम यांत्रिक उर्जेइतकीच असते. या समस्येमध्ये, सुरुवातीची स्थिती म्हणजे चेंडू सोडण्यापूर्वीची स्थिती असून, अंतिम स्थिती म्हणजे बिंदू C आहे.

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_o) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_t) + अंतिम गतिज ऊर्जा (EK)_t)
७.५ जूल + ० = ० + ईके_t
७.५ जूल = EK_t
बिंदू C वर चेंडूची गतिज ऊर्जा (EK) 7,5 जूल आहे.
योग्य उत्तर E आहे.

१४. २ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा चेंडू 'अ' सोडला जातो आणि चित्रात दाखवल्याप्रमाणे तो एका सपाट मार्गावरून प्रवास करतो. जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² असेल तर...^-2चेंडूची गतिज ऊर्जा जेव्हा B मध्ये आहे….

अ. २० जूल
बी. १६ जूल
सी. ३.२ जूल
डी. १.६ जूल
ई. १० जूल

चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
चेंडूचे वस्तुमान (m) = ०.५ किलोग्रॅम
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
उंचीतील बदल (h) = 120 सेमी = 1,2 मीटर

प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_o) = mgh = (2)(10)(1,2) = 24 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = ½ mv_o² = ½ मी (0²) = १.१३३
अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
प्रश्न: B बिंदूपाशी चेंडूची गतिज ऊर्जा
उत्तर :
बिंदू A वरील चेंडूची यांत्रिक ऊर्जा (प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा) ही बिंदू B वरील चेंडूच्या यांत्रिक ऊर्जेइतकीच (अंतिम यांत्रिक ऊर्जा) असते.

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_o) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP)_t) + अंतिम गतिज ऊर्जा (EK)_t)
७.५ जूल + ० = ० + ईके_t
EK_t = ५००० जूल
बिंदू C वर चेंडूची गतिज ऊर्जा (EK) 24 जूल आहे.
योग्य उत्तर E आहे.

 

पॅराबोलिक गतीमध्ये यांत्रिक ऊर्जा अक्षय्यतेचा नियम

१५. ०.१ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा एक चेंडू १० मीटर/सेकंद वेगाने लाथ मारून मारला जातो. जर उन्नयन कोन ३०° असेल तर^o आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/s² आहे.² (अ) सर्वोच्च बिंदूवर चेंडूची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (ब) सर्वोच्च बिंदू किंवा कमाल उंची निश्चित करा.
चर्चा
दिकेताहुई :
चेंडूचे वस्तुमान (m) = ०.५ किलोग्रॅम
प्रारंभिक वेग (v_o) = ४० मी/से
उन्नयन कोन = ३०^o
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
विचारले चेंडूची सर्वोच्च बिंदूवरील गतिज ऊर्जा (EK)
उत्तर :

(अ) सर्वोच्च बिंदूवर चेंडूची गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा
खालील चित्रात दाखवल्याप्रमाणे चेंडूचा मार्ग हा एक लंबवर्तुळाकार आहे.
प्रथम क्षैतिज दिशेतील प्रारंभिक वेग घटक (v) ची गणना करा._ox) आणि उभ्या (v_oy).
जर पॅराबोलिक गतीचा मार्ग वरील प्रतिमेप्रमाणे असेल, तर क्षैतिज किंवा आडव्या दिशेतील हालचालीचे विश्लेषण अशा प्रकारे केले जाते. एकसमान रेषीय गती आणि उभ्या दिशेतील हालचालीचे विश्लेषण असे केले जाते वरच्या दिशेने उभ्या गतीएकसमान रेषीय गतीमध्ये, वेग संपूर्ण गतीभर स्थिर राहतो. याउलट, ऊर्ध्वगामी उभ्या गतीमध्ये, जेव्हा वस्तू तिच्या कमाल उंचीवर किंवा सर्वोच्च बिंदूवर पोहोचते, तेव्हा दिशा बदलण्यापूर्वी ती क्षणभर थांबते. त्यामुळे, सर्वोच्च बिंदूवर वस्तूचा उभा वेग शून्य असतो, परंतु त्या सर्वोच्च बिंदूवर वस्तूचा वेग अजूनही v असतो._ox.

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
जेव्हा चेंडू गतिमान होतो, तेव्हा त्याची उंची जमिनीच्या पृष्ठभागाएवढी असते (h = 0), त्यामुळे त्याची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा शून्य असते (h = 0, म्हणून EP = mgh = 0). याउलट, जेव्हा तो गतिमान होतो, तेव्हा चेंडूचा सुरुवातीचा वेग कमाल असतो, त्यामुळे त्याची गतिज ऊर्जा कमाल असते. म्हणून, चेंडूची सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा ही गतिज ऊर्जा असते.
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_o = EK = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 जूल

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा
गती सुरू झाल्यावर, चेंडूची उंची वाढते, त्यामुळे त्याची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा वाढते. जेव्हा तो त्याच्या कमाल उंचीवर पोहोचतो, तेव्हा त्याची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा कमाल मूल्यावर पोहोचते. चेंडूच्या गतिज ऊर्जेचे काय? त्याच्या सर्वोच्च बिंदूवर, चेंडूचा उभ्या दिशेचा वेग (voy) शून्य असतो, परंतु त्याला आडव्या दिशेचा वेग (vox) अजूनही असतो.
कमाल उंचीवरील गतिज ऊर्जा :
EK = ½ mv_ox² = ½ (0,1)(5√3)² = ½ (0,1)((25)(3)) = ½ (0,1)(75) = 3,75 जूल

यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेचा नियम:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (EM)_t)
EK = EP + EK
५ = ईपी + ३.७५
EP = 5 – 3,75 = 1,25 जूल
सर्वाधिक उंचीवरील गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा १.२५ जूल आहे.
 
(ब) सर्वोच्च बिंदू किंवा कमाल उंची
EP = mgh
१.२५ = (०.१)(१०) तास
१.२५ = एच
कमाल उंची १.२५ मीटर आहे.

१६. ०.१ किलोग्रॅम वस्तुमानाचा एक चेंडू १० मीटर उंच इमारतीच्या कडेवरून १० मीटर/सेकंद वेगाने क्षैतिज दिशेने फेकला जातो. जर त्या ठिकाणी गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मीटर/सेकंद² असेल तर...²तर, चेंडू जमिनीवर पोहोचल्यावर त्याची गतिज ऊर्जा… असेल.
चर्चा
दिकेताहुई :
चेंडूचे वस्तुमान (m) = ०.५ किलोग्रॅम
प्रारंभिक वेग (v_o) = ४० मी/से
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²
उंचीतील बदल (h) = 10 – 2 = 8 मीटर
विचारले २ मीटर उंचीवरील चेंडूची गतिज ऊर्जा
उत्तर :
जेव्हा चेंडू १० मीटर उंचीवर असतो, तेव्हा त्याच्यामध्ये गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा असते. १० मीटर/सेकंदच्या सुरुवातीच्या वेगाने फेकल्यानंतर चेंडू गतिमान होतो, त्यामुळे त्याच्यामध्ये गतिज ऊर्जा देखील असते. म्हणून, चेंडूची सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा ही गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा असते.
प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (EP) = mgh = (0,1)(10)(10) = 10 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 जूल

चेंडू खाली जात असताना, त्याची उंची कमी होते, त्यामुळे त्याची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा कमी होते. जेव्हा तो जमिनीवर पोहोचतो, तेव्हा त्याची उंची जमिनीच्या उंचीइतकीच (h = 0) असते, म्हणून त्याची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा शून्य असते (h = 0, म्हणून EP = mgh = 0). सर्व गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते.
अंतिम गतिज ऊर्जा = प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = 10 + 5 = 15 जूल