Судалгааны статистикийн томъёо
Статистик бол өгөгдөл цуглуулах, шинжлэх, тайлбарлах, танилцуулахтай холбоотой математикийн салбар юм. Шинжлэх ухаан, инженерчлэл, нийгмийн ухаан, тэр ч байтугай хүмүүнлэгийн ухааны аль ч салбарт судалгаанд статистик нь судлаачдад таамаглалыг шалгах, таамаглал дэвшүүлэх, дүгнэлт гаргахад нь туслахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ нийтлэлд зарим үндсэн статистикийн томъёо болон тэдгээрийг судалгаанд хэрэглэх талаар авч үзэх болно.
1. Дүрслэх статистик
Судалгаанд цуглуулсан өгөгдлийг тодорхойлоход дүрслэх статистикийг ашигладаг. Эдгээр нь өгөгдлийн тоймыг өгдөг янз бүрийн хэмжүүрүүдийг агуулдаг.
а. Дундаж (Дундаж)
Дундаж гэдэг нь статистикт хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг утга юм. Энэ нь өгөгдлийн багц дахь бүх утгуудын нийт нийлбэрийг утгуудын тоонд хуваасантай тэнцүү юм.
\[ \text{Дундаж} (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Хаана:
– \( \sum \) нь нийлбэрийн тэмдэг бөгөөд энэ нь \( x \)-ийн 1-ээс \( n \) хүртэлх бүх утгуудыг нэмэхийг хэлнэ.
– \( x_i \) нь өгөгдлийн багц дахь бүх утга юм.
– \(n \) нь өгөгдлийн багц дахь нийт утгын тоо юм.
б. Дундаж
Медиан нь эрэмбэлэгдсэн өгөгдлийн багц дахь дунд утга юм. Хэрэв өгөгдлийн утгуудын тоо сондгой бол медиан нь дунд утга юм. Хэрэв утгуудын тоо тэгш бол медиан нь хоёр дунд утгын дундаж юм.
в. Горим
Горим гэдэг нь өгөгдлийн багцад хамгийн олон удаа гарч ирдэг утга юм. Өгөгдлийн багц нь нэг горимтой (нэг горимтой), нэгээс олон горимтой (олон горимтой), эсвэл огт горимгүй байж болно.
d. Хүрээ
Хүрээ гэдэг нь өгөгдлийн багц дахь хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын зөрүү юм.
\[ \text{Range} = \text{Max}(x) – \text{Min}(x) \]
д. Стандарт хазайлт
Стандарт хазайлт гэдэг нь өгөгдлийн дундаж утгын эргэн тойрон дахь тархалт эсвэл тархалтын хэмжүүр юм. Хүн амын стандарт хазайлтын томъёо нь:
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N}} \]
Мөн дээжийн хувьд:
\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}} \]
Хаана:
– \( \sigma \) нь популяцийн стандарт хазайлт юм.
– \( s \) нь түүврийн стандарт хазайлт юм.
– \( x_i \) нь өгөгдлийн багц дахь бүх утга юм.
– \( \mu \) нь хүн амын дундаж юм.
– \( \bar{x} \) нь түүврийн дундаж юм.
– \( N \) нь популяцийн нийт утгын тоо юм.
– \( n \) нь түүвэр дэх нийт утгын тоо юм.
2. Дүгнэлтийн статистик
Дүгнэлтийн статистик нь судлаачдад өгөгдлийн түүвэр дээр үндэслэн популяцийн талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог. Энэ нь таамаглалын тест, регресс, дисперсийн шинжилгээ (ANOVA) зэрэг олон төрлийн техникийг хамардаг.
а. Таамаглалын тест
Таамаглалын тест гэдэг нь өгөгдлийн түүвэрт тухайн нөхцөл байдал популяцид үнэн гэсэн дүгнэлтэд хангалттай нотолгоо байгаа эсэхийг тодорхойлоход ашигладаг статистикийн процесс юм.
i. Тэг таамаглал (H0) ба өөр таамаглал (H1)
– Тэг таамаглал (H0): Ямар ч ялгаа эсвэл нөлөө байхгүй.
– Өөр таамаглал (H1): Ялгаа эсвэл үр нөлөө бий.
Тестийг t-тест, хи-квадрат тест эсвэл ANOVA зэрэг тестийн статистикийг ашиглан хийж, p-утгыг ач холбогдлын түвшин (\(\alpha\))-тай харьцуулдаг бөгөөд ихэвчлэн 0,05 байдаг.
ii. t-тест
t-тестийг хоёр бүлгийн дундажийг харьцуулахад ашигладаг. t-тестийн хэд хэдэн хувилбар байдаг, тухайлбал бие даасан түүврийн t-тест болон хосолсон t-тест.
Бие даасан дээжийн t-тестийн үндсэн томъёо нь:
\[ t = \frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right) + \left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)}} \]
б. Регресс
Регрессийг нэг буюу хэд хэдэн бие даасан хувьсагч (урьдчилан таамаглагч) болон хамааралтай хувьсагч (хариу үйлдэл)-ийн хоорондын хамаарлыг загварчлахад ашигладаг.
i. Энгийн шугаман регресс
Энгийн шугаман регресс нь нэг бие даасан хувьсагч ба нэг хамааралтай хувьсагчийн хоорондын хамаарлыг загварчилдаг.
Энгийн шугаман регрессийн тэгшитгэл нь:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \]
Хаана:
– \( y \) нь хамааралтай хувьсагч юм.
– \( x \) нь хамааралгүй хувьсагч юм.
– \( \beta_0 \) нь огтлолцол юм.
– \( \beta_1 \) нь регрессийн коэффициент юм.
– \( \epsilon \) нь алдаа байна.
ii. Олон шугаман регресс
Олон шугаман регресс нь олон бие даасан хувьсагч ба нэг хамааралтай хувьсагчийн хоорондын хамаарлыг загварчилдаг.
Олон шугаман регрессийн тэгшитгэл нь:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_p x_p + \epsilon \]
Хаана:
– \( y \) нь хамааралтай хувьсагч юм.
– \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) нь хамааралгүй хувьсагч юм.
– \( \beta_0 \) нь огтлолцол юм.
– \( \beta_p \) нь бие даасан хувьсагчийн \( p \) регрессийн коэффициент юм.
– \( \epsilon \) нь алдаа байна.
в. Дисперсийн шинжилгээ (ANOVA)
ANOVA-г гурваас дээш бүлгийн дундаж утгыг харьцуулахад ашигладаг. ANOVA нь бүлгүүдийн хоорондох хувьсах чанарыг бүлгүүдийн доторх хувьсах чанартай харьцуулж бүлгийн дундаж утгуудын хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байгаа эсэхийг тодорхойлдог.
ANOVA-ийн үндсэн томъёо нь:
\[ F = \frac{\text{Бүлгийн хоорондох хувьсах чанар}}{\text{Бүлгийн доторх хувьсах чанар}} \]
Бүлгийн дундаж утгын хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд F-статистикийг тооцоолж, F тархалтын чухал утгатай харьцуулна.
3. Харилцан хамаарал
Корреляци нь хоёр хувьсагчийн хоорондох шугаман хамаарлын хүч ба чиглэлийг хэмждэг.
а. Пирсоны корреляцийн коэффициент (r)
Пирсоны корреляцийн коэффициент нь хоёр хувьсагчийн хоорондох шугаман корреляцийг хэмжихэд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэмжүүр юм.
Пирсоны корреляцийн коэффициентийн томъёо нь:
\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}} \]
Хаана:
– \( r \) нь Пирсоны корреляцийн коэффициент юм.
– \( x_i \) болон \( y_i \) нь хоёр хувьсагчийн утга юм.
– \( \bar{x} \) болон \( \bar{y} \) нь хоёр хувьсагчийн дундаж юм.
\(r \) утга нь -1 (төгс сөрөг корреляци)-аас +1 (төгс эерэг корреляци) хүртэл хэлбэлздэг бөгөөд 0 нь корреляци байхгүйг илтгэнэ.
Хаах
Статистик бол судлаачдад өгөгдлийг танилцуулах, шинжлэх, дүгнэлт гаргахад тусалдаг чухал судалгааны хэрэгсэл юм. Энэхүү нийтлэлд тайлбарлах болон дүгнэлт хийх статистикийн цөөн хэдэн үндсэн томъёо, түүнчлэн хамаарлыг авч үзэх болно. Энгийн боловч эдгээр томъёог бүрэн ойлгох нь судалгааны өгөгдлөөс зөв дүгнэлт гаргах, хүчин төгөлдөр дүн шинжилгээ хийхэд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Статистикийг эзэмшсэнээр судлаачид өөрсдийн олдворууд бат бөх, найдвартай дүн шинжилгээнд суурилсан эсэхийг баталгаажуулж чадна.
