Статистик дахь Bootstrap арга
Пендахулуан
Статистик бол өгөгдлийг цуглуулах, шинжлэх, тайлбарлах, танилцуулах зорилготой шинжлэх ухаан юм. Статистикийн шинжилгээ нь ихэвчлэн нарийвчлалтай тооцоолол гаргахын тулд том хэмжээний түүврийн хэмжээ шаарддаг тодорхой таамаглал эсвэл магадлалын онолууд дээр суурилдаг. Гэсэн хэдий ч олон тохиолдолд том хэмжээний түүвэр авах нь практик эсвэл боломжгүй байдаг. Энэ тохиолдолд дахин түүвэрлэлтийн техник болох bootstrap арга маш хэрэгтэй болдог.
Bootstrap аргыг анх 1979 онд Брэдли Эфрон нэвтрүүлсэн бөгөөд уян хатан байдал, тодорхой тархалтын таамаглалгүйгээр олон популяцийн параметрүүдийн нарийн тооцооллыг гаргах чадвартай тул статистикийн хамгийн алдартай аргуудын нэг болсон. Энэ нийтлэлд bootstrap аргын үндсэн зарчим, хэрэгжүүлэх алхамууд болон статистикт хэрэглэх хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно.
Bootstrap аргын үндсэн зарчмууд
Bootstrap арга нь параметрийн бус арга бөгөөд анхны өгөгдлөө дахин түүвэрлэх замаар статистикийн тархалтыг (жишээ нь, дундаж, медиан, дисперс) тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ аргын үндсэн зарчим нь давтан түүвэрлэлтээр олон шинэ өгөгдлийн багцыг дуурайлган хийхийн тулд одоо байгаа өгөгдлийг (анхны түүвэр) ашиглах явдал юм.
bootstrap аргад хийгдсэн үндсэн алхмууд энд байна:
1. Дахин дээж авах: N хэмжээтэй анхны өгөгдлийн багцаас N удаа дахин дээж авч, солино. Энэ нь шинжилгээнд сонгосон элементүүдийг нэгээс олон удаа сонгож болно гэсэн үг юм.
2. Статистикийг тооцоолох: Дахин түүвэр бүрийн хүссэн статистикийг (жишээ нь, дундаж, медиан) тооцоол.
3. Процессыг давтана уу: Сонирхож буй статистикийн bootstrap тархалтыг авахын тулд 1 ба 2-р алхмуудыг хэд хэдэн удаа давтана (жишээ нь B=1000 ба түүнээс дээш).
4. Тооцоолол ба Дүгнэлт: Энэхүү bootstrap тархалтыг ашиглан итгэлцлийн интервал үүсгэх, таамаглалыг шалгах эсвэл бусад дүгнэлтийн статистикийг бий болгох.
Bootstrap хэрэгжүүлэх үе шатууд
Bootstrap аргыг дараах үе шатуудад илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлаж болно.
1. Дахин түүвэрлэлт
Дахин түүвэрлэлтийг орлуулах нь bootstrap аргын мөн чанар юм. Анхны өгөгдлийг ашиглан бид bootstrap дээж гэж нэрлэгддэг олон шинэ өгөгдлийн багц үүсгэдэг. Bootstrap дээж бүр нь N хэмжээтэй анхны өгөгдлийн багцаас N удаа түүвэрлэлтийн үр дүн боловч орлуулах замаар хийгддэг тул анхны дээж дэх элементүүд bootstrap дээжинд нэгээс олон удаа гарч ирж болно.
Жишээ:
Хэрэв бидэнд анхны өгөгдөл байгаа бол \[3, 5, 7, 9\] бол нэг боломжит bootstrap дээж нь \[3, 9, 9, 5\] байж болно.
2. Bootstrap статистикийг тооцоолох
Bootstrap дээж бүрийн хувьд хүссэн статистикийг тооцоол. Хэрэв бид дундажийг сонирхож байгаа бол bootstrap дээж бүрийн дундажийг тооцоолно. Хэрэв бид энэ үйл явцыг B удаа давтвал дундажийн B тооцоолол гарна.
3. Bootstrap тархалтыг үүсгэх
B bootstrap дээжээс тооцоолсон бүх статистикийг нэгтгэснээр бид хүссэн статистикийн bootstrap тархалтыг байгуулна. Энэ тархалтыг статистикийн түүвэрлэлтийн тархалтыг ойролцоолоход ашигладаг.
4. Статистикийн дүгнэлт
Энэхүү bootstrap тархалтаас бид янз бүрийн статистик дүгнэлт хийж болно. Жишээлбэл, бид bootstrap тархалтаас хувь хэмжээг авч итгэлцлийн интервалыг тодорхойлж эсвэл энэ тархалтаас гаргаж авсан p-утгыг харж таамаглалыг шалгаж болно.
Bootstrap аргыг ашиглах жишээ
Илүү тодорхой дүр зургийг гаргахын тулд bootstrap аргыг практик нөхцөлд хэрхэн ашиглаж байгаа зарим жишээг авч үзье.
Жишээ 1: Дундаж итгэлийн интервал
10 хүний биеийн жингийн түүврийн өгөгдөл дараах байдалтай байна гэж бодъё: \[60, 62, 67, 70, 65, 68, 64, 60, 66, 63\].
1. Энэ өгөгдлөөс бид ижил хэмжээтэй 1000 bootstrap дээжийг авна, жишээлбэл:
– Жишээ 1: \[62, 67, 70, 67, 64, 62, 63, 65, 68, 60\]
– Жишээ 2: \[60, 62, 70, 70, 63, 64, 63, 65, 68, 62\]
- гэх мэт...
2. Bootstrap дээж бүрээс бид дундажийг тооцоолно:
– Жишээний дундаж 1: (62+67+70+67+64+62+63+65+68+60) / 10
– Жишээний дундаж 2: (60+62+70+70+63+64+63+65+68+62) / 10
- гэх мэт...
3. Энэ алхмыг 1000 удаа давтвал бид 1000 дундаж жинтэй болно.
4. Эдгээр 1000 дундаж өгөгдлөөр бид bootstrap тархалтыг үүсгэж, 2.5 болон 97.5 дахь перцентилийг авч 95%-ийн итгэлцлийн интервал үүсгэнэ.
Жишээ 2: Олон медиан таамаглалын тест
Хоёр өгөгдлийн багцын медианууд тэнцүү эсэхийг шалгахыг хүсэж байна гэж бодъё. Бид bootstrapping ашиглан медиануудын зөрүүний тархалтыг үүсгэж болно.
1. Анхны өгөгдлийн багц бүрээс bootstrap дээжийг авна уу.
2. Bootstrap дээж бүрийн голч зөрүүг тооцоол.
3. Bootstrap медианы зөрүүний тархалтыг үүсгэ.
4. Тэг нь тархалтын итгэлцлийн интервалд багтаж байгаа эсэхийг харна уу.
Bootstrap аргын давуу болон хязгаарлалтууд
Илүүдэл
– Параметрийн бус: Өгөгдлийн тархалтын талаар таамаглал шаарддаггүй.
– Жижиг дээжинд үр нөлөөтэй байдал: Жижиг дээжинд ч үр дүнтэй.
– Уян хатан: Дундаж, медиан, регрессийн коэффициент гэх мэт янз бүрийн статистикт хэрэглэж болно.
– Хэрэгжүүлэхэд хялбар байдал: Тооцооллын технологийн дэвшлийн ачаар bootstrap аргыг R эсвэл Python зэрэг статистикийн програм хангамжийн тусламжтайгаар хэрэгжүүлэхэд нэлээд хялбар болсон.
Хязгаарлалтууд
– Тооцооллын зардал: Ялангуяа их хэмжээний өгөгдлийн хэмжээ эсвэл олон тооны bootstrap дээжийн үед их хэмжээний тооцооллын нөөц шаардагдаж болно (B).
– Түүврийн олон янз байдал: Зөвхөн анхны популяцийг хангалттай төлөөлж чадах түүвэрт тохиромжтой.
– Хэвийлтээс хамгаалдаггүй: Хэрэв анхны өгөгдөл нь хэвийлттэй байвал бүх bootstrap дээжүүд ижил хэвийлтийг агуулна.
Дүгнэлт
Bootstrap арга нь олон статистик дүгнэлтийн асуудлуудад хүчирхэг бөгөөд уян хатан шийдлийг санал болгодог. Тодорхой тархалтыг таамаглалгүйгээр янз бүрийн статистикийн тархалтыг үр дүнтэй тооцоолох чадвартай тул bootstrap арга нь өгөгдлийн шинжилгээнд үнэ цэнэтэй хэрэгсэл болсон. Хязгаарлагдмал байдлаас үл хамааран түүний санал болгож буй ашиг тус нь тооцооллын зардлаас давж гардаг. Зохих ёсоор ашиглавал bootstrap арга нь статистикийн шинжилгээнд баялаг, илүү нарийвчлалтай ойлголтыг өгөх боломжтой.
