Биномын тархалтыг ойлгох нь
Биномиал тархалт нь магадлал болон статистикийн салбарт хамгийн алдартай бөгөөд байнга ашиглагддаг дискрет магадлалын тархалтын нэг юм. Энэ нь шинжлэх ухааны судалгаанаас эхлээд бизнесийн өгөгдлийн шинжилгээ хүртэл олон хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой юм. Энэ нийтлэлд биномын тархалтын үндсэн тодорхойлолт, шинж чанараас эхлээд янз бүрийн салбарт хэрэглэх хүртэлх янз бүрийн талыг авч үзэх болно.
Бином тархалтын тодорхойлолт ба томъёо
Биномиал тархалт гэдэг нь "амжилт" ба "бүтэлгүйтэл" гэсэн хоёр өөр үр дүнтэй цуврал туршилт эсвэл ажиглалтын амжилтын тооны магадлалын тархалт юм. Эдгээр туршилтыг Бернулли туршилт, энэ бие даасан туршилтын цувралыг Бернулли схем гэж нэрлэдэг.
Бином тархалтын магадлалыг тооцоолоход ашигласан үндсэн томъёо нь:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Хаана:
– \( P(X = k) \) нь \( n \) туршилтуудын аль нэг \( k \) амжилттай болох магадлал юм.
– \( \binom{n}{k} \) нь \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) гэж тооцоолсон биномын коэффициент юм.
– \( p \) нь ганц туршилтаар амжилтанд хүрэх магадлал юм.
– \( 1 – p \) нь ганц туршилтад бүтэлгүйтэх магадлал юм.
– \( n \) нь туршилтын нийт тоо юм.
– \( k \) нь хүссэн амжилтын тоо юм.
Биномын тархалтын шинж чанарууд
Бином тархалт нь статистикийн шинжилгээнд ашигтай болгодог хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг:
1. Дискрет: Биномиал тархалт нь дискрет тархалт юм, учир нь энэ нь хязгаарлагдмал тооны туршилтын амжилтын тоог л тооцдог.
2. Хоёр үр дүн: Бернуллигийн схемийн туршилт бүр зөвхөн хоёр үр дүнтэй байдаг: амжилт (магадлалтай (p)) эсвэл бүтэлгүйтэл (магадлалтай (1 – p)).
3. Бие даасан: Нэг туршилт нөгөөгөөсөө хамааралгүй; нэг туршилтын үр дүн нөгөөд нь нөлөөлдөггүй.
4. Тогтмол параметрүүд: Магадлал \(p \), туршилтын нийт тоо \(n \) болон амжилтын тоо \(k \) нь биномын тархалт дахь тогтмол параметрүүд юм.
Бином тархалтын дундаж ба дисперс
Бином тархалтын дундаж (дундаж) ба дисперс нь мөн энгийн бөгөөд ойлгомжтой томъёотой байдаг:
– Дундаж (\(\mu\)) : Биномиал тархалтын дундаж нь туршилтын тоог амжилттай болох магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна:
\[ \mu = np \]
– Дисперс (\(\sigma^2\)) : Биномиал тархалтын дисперс нь туршилтын тоо, амжилтын магадлал ба бүтэлгүйтлийн магадлалын үржвэр юм:
\[ \sigma^2 = np(1 – p) \]
Биномын тархалтын хэрэглээний тохиолдлын судалгаа
Бином тархалтын хэрэглээг ойлгохын тулд бодит ертөнцийн зарим жишээг авч үзье.
Жишээ 1: Ажилтны гүйцэтгэлийн шинжилгээ
Менежер хэлтсийн ажилтны гүйцэтгэлийг шинжлэхийг хүсч байна. Ажилтан бүр даалгаврыг амжилттай гүйцэтгэх 0,7 (70%) магадлалтай гэж үзье. Хэрэв 10 ажилтан ижил даалгавар гүйцэтгэж байгаа бол менежер яг 7 ажилтан амжилттай ажиллах магадлалыг мэдэхийг хүсч магадгүй юм.
Биномиал тархалтын томъёог ашиглана уу:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Биномиал коэффициент болон эцсийн үр дүнг тооцоолох нь энэ хувилбарын магадлалыг өгдөг.
Жишээ 2: Үйлдвэрт бүтээгдэхүүний туршилт
Үйлдвэр нь 2%-ийн согогийн түвшинтэй электрон эд анги үйлдвэрлэдэг. Хэрэв тэд 100 эд ангийг туршвал 2 нь согогтой байх магадлал хэд вэ?
Биномиал тархалтын томъёог ашиглана уу:
\[ P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.02)^2 (0.98)^{98} \]
Энэ нь чанарын хяналтын талаар зөвлөгөө өгдөг.
Биномиал тархалт ба Пуассоны тархалт
Зарим тохиолдолд биномын тархалт нь Пуассоны тархалтыг ойролцоолж болно, ялангуяа туршилтын тоо \(n \) их, магадлал \(p \) бага байх үед. Пуассоны тархалтыг биномын тархалттай ойролцоолох нэг ерөнхий дүрэм бол \(n \geq 20 \) ба \(p \leq 0.05 \) байх явдал юм.
Програм хангамжийн хэрэглээ ба биномын тархалт
Технологи болон тооцооллын дэвшлийн ачаар биномын тархалтын тооцооллыг одоо R, Python зэрэг статистикийн програм хангамж болон Microsoft Excel зэрэг бусад програм хангамж ашиглан хялбархан хийж болно. Жишээлбэл, Python дээр та биномын тархалтын тооцооллыг хялбархан гүйцэтгэхийн тулд `scipy.stats` санг ашиглаж болно:
"` питон
scipy.stats-аас импортлох бином
Үзүүлэлтүүд
n = 10 туршилтын тоо
p = 0.5 амжилтын магадлал
k = 5 амжилтын тоо
биномын магадлалыг тооцоолох
binom_prob = binom.pmf(k, n, p)
print(“Яг 5 амжилттай болох магадлал:”, binom_prob)
""
Дүгнэлт
Биномиал тархалт нь магадлал болон статистикийн шинжилгээнд үндсэн боловч хүчирхэг тархалт юм. Дискрет шинж чанар, амжилт ба бүтэлгүйтэл гэсэн хоёр үр дүнд анхаарлаа төвлөрүүлдэг тул энэ нь олон бодит нөхцөл байдалд тохиромжтой загвар болж өгдөг. Биномиал тархалтын талаарх мэдлэг нь зөвхөн үйл явдлын магадлалыг тодорхойлж, ойлгоход туслахаас гадна илүү нарийн төвөгтэй статистикийн шинжилгээ хийх бат бөх суурийг бий болгодог. Орчин үеийн тооцоолох хэрэгслүүдийг ашигласнаар биномын тархалтыг хэрэглэхэд улам бүр хялбар болгож, өнөөгийн өгөгдөлд суурилсан ертөнцөд маш чухал хэрэгсэл болж байна.
