Дисперсийг хэрхэн тооцоолох вэ: Бүрэн гарын авлага
Хувьсах чадвар нь эдийн засаг, инженерчлэлээс эхлээд сэтгэл судлал, статистик хүртэл янз бүрийн салбарт хэрэглэгддэг үндсэн статистик юм. Энэ нь өгөгдлийн багц дахь утгууд дундаж утгын эргэн тойронд хэр зэрэг тархсан талаар мэдээлэл өгдөг. Энэ нийтлэлд бид тодорхойлолтоос эхлээд практик алхамууд хүртэл хувьсах чадварыг хэрхэн нарийвчлан тооцоолохыг судлах болно.
Пендахулуан
Дисперсийг ойлгохын тулд бид статистикийн зарим үндсэн ойлголтуудыг ойлгох хэрэгтэй. Дисперс гэдэг нь өгөгдлийн багц дахь утгууд дунджаас хэр хол зөрж байгааг хэмждэг хэмжүүр юм. Дисперсийг утга тус бүр болон дундажийн хоорондох квадрат зөрүүний дундаж гэж тооцдог. Дисперс нь өгөгдлийн "хувьсах чанар"-ын заалтыг өгдөг.
Дисперсийн тодорхойлолт
Математикийн хувьд дисперс нь:
\[ \text{Variance} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]
ди мана:
– \( \sigma^2 \) нь популяцийн дисперс юм.
– \( N \) нь популяцийн нийт утгын тоо юм.
– \( x_i \) нь i-р хувьсагчийн утга юм.
– \( \mu \) нь хүн амын дундаж юм.
Дээжийн хувьд дисперсийн томъёо нь арай өөр байна:
\[ \text{Дээжийн хэлбэлзэл} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
ди мана:
– \( s^2 \) нь түүврийн дисперс юм.
– \( n \) нь түүвэр дэх нийт утгын тоо юм.
– \( x_i \) нь түүвэр дэх i-р хувь хүний утга юм.
– \( \bar{x} \) нь түүврийн дундаж юм.
Дисперсийг тооцоолох алхамууд
Тодорхой жишээ ашиглан дисперсийг тооцоолох практик алхмуудыг авч үзье.
Жишээ: Популяцийн хэлбэлзлийг тооцоолох
Дараах утгуудаас бүрдсэн жижиг өгөгдлийн багц байна гэж бодъё: 2, 4, 6, 8, 10.
1. Алхам 1: Дундаж утгыг тооцоолох
\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2. Алхам 2: Дундаж болон квадрат утгын зөрүүг тооцоол
\[
\эхлэх{тэгших}
(2 – 6)^2 &= (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 &= 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 &= 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 &= 4^2 = 16 \\
\end{align}
\]
3. Алхам 3: Ялгаатай бүх квадратуудыг нэмэх
\[16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]
4. Алхам 4: Ялгааны квадратуудын нийлбэрийг утгын тоонд (N) хуваана уу.
\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]
Тиймээс энэ өгөгдлийн популяцийн дисперс нь 8 байна.
Жишээ: Түүврийн хэлбэлзлийг тооцоолох
Одоо дээрх өгөгдлийн сангаас жижиг түүвэр авъя гэж бодъё: 2, 4, 6.
1. Алхам 1: Түүврийн дундажийг тооцоолох
\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]
2. Алхам 2: Дундаж болон квадрат утгын зөрүүг тооцоол
\[
\эхлэх{тэгших}
(2 – 4)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 &= 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 &= 2^2 = 4 \\
\end{align}
\]
3. Алхам 3: Ялгаатай бүх квадратуудыг нэмэх
\[4 + 0 + 4 = 8 \]
4. Алхам 4: Ялгааны квадратуудын нийлбэрийг (n – 1)-д хуваана уу
\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
Тиймээс энэ өгөгдлийн түүврийн дисперс нь 4 байна.
Популяци ба түүврийн хэлбэлзэл
Хүн амын хэлбэлзэл ба түүврийн хэлбэлзлийн хоорондох ялгааг ойлгох нь чухал юм. Хүн амын хэлбэлзэл нь нийт хүн амын дунд өгөгдлийн тархалтыг хэмждэг бол түүврийн хэлбэлзэл нь хүн амын дэд бүлэг (түүвэр) доторх тархалтыг хэмждэг. Олон тохиолдолд түүврийн хэлбэлзлийг хүн амын хэлбэлзлийг тооцоолоход ашигладаг. Түүврийн хэлбэлзлийг тооцоолоход \( (n-1) \)-д хуваах нь хүн амын хэлбэлзлийн тооцоонд гарсан алдааг бууруулдаг.
Дисперсийн хэрэглээ
Дисперсийг янз бүрийн хэрэглээнд ашигладаг, тухайлбал:
1. Санхүүгийн эрсдэлийн шинжилгээ: Санхүүгийн хувьд эрсдэлийг хэмжих, хөрөнгө оруулалтын портфолиог удирдахад дисперсийг ашигладаг. Дисперс өндөр байх нь хөрөнгө оруулалтын эрсдэл өндөр гэсэн үг юм.
2. Нийгмийн шинжлэх ухаан: Сэтгэл судлал эсвэл социологийн судалгаанд хүн амын бүлгүүдийн хоорондох ялгааг хэмжихэд дисперсийг ашигладаг.
3. Чанарын хяналт: Үйлдвэрлэлд бүтээгдэхүүний чанарыг хянах, хянахын тулд хэлбэлзлийг ашигладаг.
4. Туршилтын статистик: Туршилтын үр дүнг шинжлэх, ялгааны ач холбогдлыг тодорхойлоход ашигладаг.
Дисперс ба стандарт хазайлт
Дисперсийг ихэвчлэн дисперсийн квадрат язгуур болох стандарт хазайлттай хамт ашигладаг. Стандарт хазайлт нь дисперсээс илүү шууд бөгөөд амархан тайлбарлагдах тархалтын хэмжүүр болдог. Энэ хоёрын хоорондох тэгшитгэл нь:
\[ \text{Стандарт хазайлт} (\sigma) = \sqrt{\text{Variance} (\sigma^2)} \]
Дүгнэлт
Дисперсийг тооцоолох нь статистикийн шинжилгээний чухал хэсэг бөгөөд өгөгдлийн багц доторх тархалт эсвэл тархалтын хэмжүүрийг өгдөг. Үндсэн ойлголтууд болон дисперсийг хэрхэн тооцоолохыг ойлгосноор бид өгөгдлийг илүү сайн шинжилж, эрсдэлийг үнэлж, илүү мэдээлэлтэй шийдвэр гаргаж чадна.
Илүү шинжлэх ухааны шинжилгээнд популяцийн дисперсийг ашиглах эсвэл өгөгдлийн дэд хэсгээс тооцоололд түүврийн дисперсийг ашиглах эсэхээс үл хамааран дисперсийн талаарх бүрэн ойлголт нь өгөгдлийн олон янз байдлыг ойлгож, бодит ертөнцийн янз бүрийн нөхцөл байдалд хэрэгжүүлэхэд тусалдаг. Энэхүү нийтлэл нь дисперсийг ойлгож, тооцоолох практик бөгөөд хэрэгтэй гарын авлага болно гэж найдаж байна.
