Инерцийн момент

1. Бөөмийн инерцийн момент

Эргэлдэгч бөөмийг тоймло. m масстай бөөмд F хүчийг өгч бөөм нь O тэнхлэгийг тойрон эргэлдэнэ. Бөөм нь эргэлтийн тэнхлэгээс r зайтай байна. Нэгдүгээрт, бөөм нь тайван байдалд байна (v = 0). F хүчний нөлөөгөөр хөдөлсний дараа бөөмс нь тодорхой хурдтай хөдөлж, бөөмс нь тангенциал хурдатгалтай болно. Хүч (F), масс (m) ба бөөмсийн тангенциал хурдатгалын хоорондын хамаарлыг 3-р тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

F = ma _tan (Тэгшитгэл 3)

Бөөмсүүд өнцгийн хурдатгалтай байхаар эргэлддэг. Тангенциал хурдатгал ба өнцгийн хурдатгалын хоорондын хамаарлыг 4-р тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

a _tan = r α (Тэгшитгэл 4)

3-р тэгшитгэл дэх a-г 4-р тэгшитгэл дэх a-тай орлуулна уу:

F = ноён α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (Тэгшитгэл 5)

r F нь хүчний момент, mr ² нь бөөмийн инерцийн момент юм. 5-р тэгшитгэл нь хүчний момент, инерцийн момент болон эргэлдэгч бөөмсийн өнцгийн хурдатгалын хоорондын хамаарлыг илэрхийлнэ. 5-р тэгшитгэл нь эргэлдэгч бөөмсийн хувьд Ньютоны хоёрдугаар хуулийн тэгшитгэл юм.

Бөөмийн инерцийн момент нь бөөмийн масс (m) ба эргэлтийн тэнхлэгтэй бөөмсийн хоорондох зайны квадратын үржвэр (r2 ⁾ юм.

I = mr ² (Тэгшитгэл 6)

I = бөөмийн инерцийн момент, m = бөөмийн масс, r = бөөм ба эргэлтийн тэнхлэгийн хоорондох зай. 6-р тэгшитгэлийг бөөмийн инерцийн моментийг тодорхойлоход ашигладаг.

3.2 Бөөмийн инерцийн моментийн жишээ бодлогууд

Жишээ асуудал 1.

2 кг масстай бөөмийг 0.5 метр урт олсоор уяад эргүүлэв. Эргүүлэх үеийн бөөмийн инерцийн момент хэд вэ?

Шийдэл:

Би = Ноён ²

I = (2 кг) (0.5 м) ²

I = 0.5 кг ^м2

Жишээ асуудал 2.

Тус бүр нь 2 кг ба 4 кг масстай хоёр бөөмийг 2 метр урттай хөнгөн утсаар холбосон. Утасны массыг үл тоомсорлоно уу. Хэрэв дараах тохиолдолд хоёр бөөмийн инерцийн моментийг тодорхойлно уу:

a) Эргэлтийн тэнхлэг нь хоёр бөөмийн хооронд байрладаг

Шийдэл:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 кг ^м2

б) Эргэлтийн тэнхлэг нь 2 кг масстай бөөмөөс 0.5 метрийн зайд байна

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 кг ^м2

в) Эргэлтийн тэнхлэг нь 4 кг масстай бөөмөөс 0.5 метрийн зайд байна

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 кг ^м2

Дээрх тооцооллын үр дүнд үндэслэн инерцийн момент нь эргэлтийн тэнхлэгийн байршлаас ихээхэн хамаардаг. Эргэлтийн тэнхлэгийн байршил өөр өөр тул хэлбэр, хэмжээ нь ижил боловч инерцийн момент нь бас өөр байна.

Эргэлтийн тэнхлэгийн ойролцоох бөөмсийн инерцийн момент бага байдаг бол эргэлтийн тэнхлэгээс хол байгаа бөөмсийн инерцийн момент их байдаг. Хэрэв бид дээрх хоёр бөөмийг хатуу биет гэж үзвэл бөөм бүр эргэлтийн тэнхлэгийн ойролцоо байна.

эргэлтийн тэнхлэгээс хол зайд орших бөөмийн инерцийн моментоос бага инерцийн моменттой.

3.3 Нэг төрлийн хатуу биеийн инерцийн момент

Хатуу биетүүд олон бөөмсөөс бүрддэг. Хатуу биеийн инерцийн момент гэдэг нь тухайн биетийг бүрдүүлдэг бөөм бүрийн инерцийн моментуудын нийт тоо юм.

I = Σ ноён ²

I = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Хатуу биетийн инерцийн моментийг тодорхойлохын тулд бид биетийг эргэх үеийнх нь талаар бодох хэрэгтэй, учир нь эргэлтийн тэнхлэгийн байршил нь биетийн инерцийн моментт нөлөөлдөг. Бөөм бүрийн инерцийн момент (I) нь мөн бөөмийн масс (m) болон бөөмийн эргэлтийн тэнхлэгээс холдох зайны квадрат (r2)-аас хамаарна ^. Биетийг бүрдүүлж буй бүх бөөмсийн масс нь биетийн масс юм.

Асуудал нь бөөм бүрийн эргэлтийн тэнхлэгээс хол байх зай өөр өөр байдагт оршино.

R хуруутай, M масстай нимгэн цагирагийн инерцийн моментийн томъёоны бууралтыг авч үзье.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг нь цагиргийн төвд байрладаг бол нимгэн цагиргийн бүх хэсгүүд эргэлтийн тэнхлэгээс байрлана. Нимгэн цагиргийн инерцийн момент нь бүх хэсгүүдийн инерцийн моменттой тэнцүү байна:

I = Σ ноён²

I = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Бүх бөөмсийн масс = нимгэн цагирагийн масс (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

Нимгэн цагиргийн бөөм бүр эргэлтийн тэнхлэгээс r зайд байрладаг тул r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R байна.

Нимгэн цагирагийн инерцийн моментийн тэгшитгэл:

I = MR ²

I = нимгэн цагиргийн инерцийн момент, M = нимгэн цагиргийн масс, R = нимгэн цагиргийн радиус.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг нь цагирагны төвд байрлаагүй бол яах вэ? Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг нь цагирагны төвд байрлаагүй бол нимгэн цагирагны инерцийн моментийн томъёог дээрх аргыг ашиглан гаргаж авах боломжгүй.

учир нь бөөм бүрийн эргэлтийн тэнхлэгээс зай өөр өөр байдаг. Иймэрхүү бодлогын инерцийн моментийн томъёог гаргах талаар энэ сэдвээр хэлэлцээгүй болно.

Зарим хатуу биетүүдийн инерцийн моментийн томъёо

3.4 Нэг төрлийн хатуу биеийн инерцийн моментийн жишээ бодлого

Жишээ асуудал 1:

AB цилиндр нь B цилиндрээр эргэлдэх үед 3 кг масстай байна.

инерцийн момент нь 27 кг м2 байна ^. Хэрэв инерцийн момент гэж юу вэ?

C-ээр эргэлдсэн үү?

Шийдэл:

Шийдэл:

Нэг төрлийн хатуу савааны инерцийн моментийн томъёо (эргэлтийн тэнхлэг нь савааны төвд байрладаг):

I = 1/12 мл ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Нэг төрлийн хатуу савааны инерцийн моментийн томъёо (савааны ирмэг дээрх эргэлтийн тэнхлэг):

I = 1/3 мл ²

I = 1/3 (324)

I = 108 кг ^м2