Векторуудын нэмэгдэл

Векторуудыг нэмэх тухай нийтлэл

1. Вектор ба скаляр хэмжигдэхүүнүүд

Үндсэн болон үүсмэл хэмжигдэхүүнүүдээс гадна физик хэмжигдэхүүнүүдийг скаляр хэмжигдэхүүн ба вектор хэмжигдэхүүн гэсэн хоёр өөр төрөлд хувааж болно. Масс, зай, цаг хугацаа, эзэлхүүн зэрэг хэмжигдэхүүнүүд нь скаляр хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд зөвхөн хэмжигдэхүүнтэй боловч чиглэлгүй хэмжигдэхүүнүүд юм. Харин шилжилт, хурд, хурдатгал, хүч зэрэг хэмжигдэхүүнүүд нь вектор хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд хэмжигдэхүүнтэй бөгөөд чиглэлтэй хэмжигдэхүүнүүд юм.

a. Өөрчлөлт хоорондкалор ба векторын хэмжигдэхүүн

Хэрэв та бөмбөгний массыг 400 грамм гэж хэлбэл энэ мэдэгдэл нь бөмбөгний массыг мэдэхэд хангалттай. Бөмбөгний массыг олохын тулд чиглэл шаардлагагүй. Үүнтэй адил цаг хугацаа, температур, эзэлхүүн, нягтрал гэх мэт. Зөвхөн хэмжээгээр илэрхийлж болохгүй хэд хэдэн физик хэмжигдэхүүн байдаг. Хэрэв та хүүхэд 100 метр хүртэл хөдөлсөн гэж хэлбэл энэ мэдэгдэл хангалтгүй. Та тэр хаашаа хөдөлсөн бэ гэж асууж магадгүй юм. Хойд зүг, өмнө зүг, зүүн зүг эсвэл баруун зүг үү? Үүнтэй адилаар, хэрэв та ширээг 200 Н хүчээр түлхэж байна гэж хэлбэл.

Та хаашаа жолооддог вэ? Ийм хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь хэмжээ болон чиглэлийг тайлбарлахыг шаарддаг. Вектор хэмжигдэхүүний жишээнд шилжилт, хурдатгал, импульс гэх мэт орно. эрчгэх мэт. Та тухайн хэмжигдэхүүнтэй холбоотой сэдвүүдийг судлахдаа үүнийг илүү тодорхой ойлгож чадна.

б. Вектор зур

Векторыг сумаар тэмдэглэнэ. Сумыг үргэлж векторын чиглэлд чиглүүлэхээр зурна. Сумын уртыг векторын хэмжээ гэж тодорхойлно. Жишээлбэл, зүүн хойд зүг рүү чиглэсэн чиглэл нь 2 Н-тэй хүчний вектор (F)-ийн зурагт^o x тэнхлэгийн тухай.

c. Rules w-ийн хувьдвекторын тоо хэмжээг бичих

Вектор бичихдээ, хэрэв та гар бичмэл ашиглавал векторын тэмдгийг ерөнхийдөө том үсгээр налуу үсгээр бичдэг бөгөөд дээр нь сумаар нэмэх шаардлагатай. Хэвлэмэл номын хувьд векторын тэмдгийг том үсгээр тод үсгээр бичдэг, жишээлбэл, FВекторын хэмжээний хувьд, хэрэв бид гар бичмэл ашиглавал векторын хэмжээг, жишээлбэл, |F| гэж бичнэ. Хэвлэмэл номын хувьд векторын хэмжээг налуу үсгээр бичнэ, жишээлбэл, F.

2. Векторуудыг нэмэх—график аргууд

Векторуудыг графикаар нэмэх хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд үүнд сүүлээс орой хүртэлх арга болон параллелограмм арга орно.

а. Векторуудыг сүүлээс орой хүртэл нэмэх арга

А ба В векторууд мэдэгдэж байна. А = 3 см вектор нь x тэнхлэгтэй (зүүн тийш) давхцдаг. В вектор = 2 см нь 30 өнцөг үүсгэдэг.^o x тэнхлэг рүү (зүүн хойд зүг рүү). А ба В-г сүүлээс орой хүртэлх аргыг ашиглан графикаар нэмнэ үү. a) R = A + B b) R = A – B

Үр дүнгийн векторын хэмжээг (R) шугам ашиглан хэмждэг. Үр дүнгийн векторын чиглэлийг транспортир ашиглан хэмждэг.

Мэдэгдэж буй A, B, C векторууд. A = 3 см вектор нь x тэнхлэгтэй (зүүн тийш) давхцдаг. B вектор = 2 см нь 30 өнцөг үүсгэдэг.^o x тэнхлэг рүү (зүүн хойд зүг рүү). C = 1 см вектор нь 60 өнцөг үүсгэдэг^o x тэнхлэг рүү (зүүн хойд зүг рүү). A, B, C-г Tail-to-tip аргыг ашиглан графикаар нэмнэ үү.

a) R = A + B + C

б) R = A – B – C

Үр дүнгийн векторыг (R) шугам ашиглан хэмждэг. Үр дүнгийн векторын чиглэлийг транспортир ашиглан хэмждэг.

б. Параллелограммын арга

Мэдэгдэж буй A, B, C векторууд. A = 3 см вектор нь x тэнхлэгтэй (зүүн тийш) давхцдаг. B вектор = 2 см нь 30 өнцөг үүсгэдэг.^o x тэнхлэг рүү (зүүн хойд зүг рүү). C = 1 см вектор нь 60 өнцөг үүсгэдэг^o x тэнхлэг рүү (зүүн хойд зүг рүү). Параллелограмм ашиглан A, B, C-г графикаар нэмнэ үү.

a) R = A + B

б) R = A – B

в) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Үр дүнгийн векторыг (R) шугам ашиглан хэмждэг. Үр дүнгийн векторын чиглэлийг транспортир ашиглан хэмждэг.

3. Векторуудыг нэмэх – aаналитик Арга

Үр дүнгийн векторын хэмжээ болон чиглэлийг график аргаар тодорхойлох нь нэг арга юм. Үр дүнгийн нарийвчлал нь масштабыг зурах, унших нарийвчлал болон нарийвчлалаас хамаарна. Үр дүнгийн векторын хэмжээ болон чиглэлийг математикийн тооцооллоор илүү нарийвчлалтай гаргаж авдаг.

a. Косинусын дүрмийг ашиглан 2 векторын нийлбэрийг тооцоолох

Үр дүнгийн векторын хэмжээг тодорхойлох томъёо:

Үр дүнгийн векторын чиглэлийг тодорхойлох томъёо:

C = үр дүнгийн вектор

А = вектор 1

B = вектор 2

cos ∠(A, B) = A ба B векторуудын үүсгэсэн өнцөг

Жишээ асуудал 1:

F₁ = 2 N нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд 30 өнцөг үүсгэдэг, F₂ = 3 N нь 60 өнцгийг үүсгэдэг^o x тэнхлэгийн тухайд, θ = 30^o.

Жишээ асуудал 2:

F₁ = 2 N нь x тэнхлэгтэй давхцаж байна, F₂ = 3 N нь 90 өнцгийг үүсгэдэг^o x тэнхлэгийн тухайд, θ = 90^o.

b. Векторуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр нэмэх

Доорх зурагт үзүүлсэн шиг x тэнхлэгийн эргэн тойронд тодорхой өнцөг үүсгэдэг F векторыг авч үзье. F_x ба Ф_y нь вектор F-ийн бүрэлдэхүүн хэсгийн векторууд юм.

Бүрэлдэхүүн хэсгийн векторын хэмжээг дараах томъёогоор тодорхойлно:

F_x = F cos θ

F_y = F sin θ

Хоёр вектор F-г авч үзье₁ ба Ф₂ доорх зурагт үзүүлсэн шиг x тэнхлэгийн талаар тодорхой өнцөг үүсгэдэг. F_1x ба Ф_1y нь вектор F-ийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд юм₁, тиймээс F_2x ба Ф_2y нь вектор F-ийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд юм₂.

Бүрэлдэхүүн хэсгийн векторыг дараах томъёогоор тодорхойлно:

F_1x = Ф₁ cos θ

F_1y = Ф₁ гэм θ

F_2x = Ф₂ cos θ

F_1y = Ф₁ гэм θ

Компонент векторуудыг нэмэх:

F_x = Ф_1x + Ф_2x

F_y = Ф_1y + Ф_2y

Үр дүнгийн векторыг дараах томъёогоор тодорхойлно:

Үр дүнгийн векторын чиглэлийг дараах томъёогоор тодорхойлно:

Жишээ асуудал 1:

20 Н хэмжээтэй, 30 өнцөг үүсгэдэг F векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойл.^o x тэнхлэгийн тухай.

F_x = (20 N)(cos 30)^o) = 17 Н

F_y = (20 N)(нүгэл 30^o) = 10 Н

Жишээ асуудал 2:

F₁ = 20 N нь 30 өнцгийг үүсгэдэг^o x тэнхлэг ба F-ийн тухай₂ = 15 N нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд 180° өнцөг үүсгэдэг. Үүссэн векторын хэмжээ ба чиглэлийг тодорхойл.

F_1x = (20 N)(cos 30)^o) = 17 Н

F_2x = Ф₁ = – 15 Н

F_1y = (20 N)(нүгэл 30^o) = 10 Н

F_2y = 0

Компонент векторуудыг нэмэх:

F_x = Ф_1x - F_2x = 17 Н – 15 Н = 2 Н

F_y = 10 Н.

Үр дүнгийн вектор:

F₂ = Ф_x² + Ф_y² = 2² + 10² 4 + 100 = 104

F = 10.2N

Үр дүнгийн векторын чиглэл:

θ = бор-15 = 78.7^o x тэнхлэгийн тухай

Жишээ бодлого 3:

F₁, Ф_2, ба Ф₃ нь 20 N, 30 N болон 40 N байна. F₁ 60 өнцөг үүсгэдэг^o x тэнхлэгийн тухай, F₂ 150 өнцөг үүсгэдэг^o x тэнхлэг болон F-ийн тухай₃ 315 өнцөг үүсгэдэг^o x тэнхлэгийн тухай. Үүссэн векторын хэмжээ ба чиглэлийг тодорхойл.

F_1x = (20 N)(cos 60)^o) = 10 Н

F_1y = (20 N)(нүгэл 60^o) = 17 Н

F_2x = (30 N)(cos 30)^o) = -26 Н

F_2y = (30 N)(нүгэл 30^o) = 15 Н

F_3x = (40 N)(cos 45)^o) = 28 Н

F_3y = (40 N)(нүгэл 45^o) = -28 Н

Компонент векторыг нэмэх нь:

F_x = Ф_1x - F_2x + Ф_3x = 10 Н – 26 Н + 28 Н = 12 Н

F_y = Ф_1y + Ф_2y - F_3y = 17 Н + 15 Н – 28 Н = 4 Н

Үр дүнгийн вектор:

F² = Ф_x² + Ф_y² = 12² + 4² 144 + 16 = 160

F = 13N

Үр дүнгийн векторын чиглэл:

θ = бор^-1 0.3 = 17^o x тэнхлэгийн тухай