Биномын тархалтын хүлээгдэж буй утга
Биномиал тархалт нь статистик болон магадлалын чиглэлээр хамгийн түгээмэл тохиолддог дискрет магадлалын тархалтын нэг юм. Энэхүү тархалт нь бие даасан хоёртын туршилтын цувралын амжилтын тоог тодорхойлдог (зөвхөн хоёр үр дүнтэй туршилтууд: амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл). Биномиал тархалтыг илүү сайн ойлгохын тулд урт хугацаанд давтагдсан туршилтын дундаж утгыг тодорхойлдог хүлээгдэж буй утгын тухай ойлголтыг ойлгох нь чухал юм. Энэ нийтлэлд хүлээгдэж буй утгын тухай ойлголтыг биномын тархалтын хүрээнд авч үзэх болно.
Биномын тархалтын тодорхойлолт
Биномиал тархалт нь бид хэд хэдэн ижил бөгөөд бие даасан туршилтуудыг гүйцэтгэдэг нөхцөл байдалд үүсдэг бөгөөд туршилт бүр нь ихэвчлэн "амжилт" ба "бүтэлгүйтэл" гэж нэрлэгддэг хоёр харилцан үгүйсгэсэн үр дүнтэй байдаг. Жишээлбэл, зоос шидэх (толгой эсвэл сүүл), шалгалтын асуултанд хариулах (үнэн эсвэл худал), эсвэл анагаах ухааны туршилт (эдгэрсэн эсвэл эдгэрээгүй).
Биномиал тархалтыг хоёр параметрээр тодорхойлно:
– n, туршилтын тоо.
– p , туршилт бүрийн амжилтын магадлал.
Ойролцоогоор хэлбэл, хэрэв X нь n туршилтын амжилтын тоог илэрхийлсэн санамсаргүй хувьсагч бол X нь n ба p параметрүүдтэй биномын тархалтыг дагадаг бөгөөд үүнийг X ~ Binomial(n, p) гэж тэмдэглэнэ.
Магадлалын функц
Биномиал тархалтын магадлалын функц дараах байдалтай байна.
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ди мана:
– \( \binom{n}{k} \) нь биномын коэффициент бөгөөд үүнийг \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) гэж тооцоолно.
– \( k \) нь хүссэн амжилтын тоо юм.
– \( n \) нь туршилтын тоо юм.
– \( p \) нь туршилт бүрийн амжилтын магадлал юм.
– \( (1-p) \) нь туршилт бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал юм.
Хүлээгдэж буй утга
Магадлалын тархалтын хүлээгдэж буй утга буюу дундаж нь төв байршлын хамгийн чухал хэмжүүрүүдийн нэг юм. Биномиал тархалтын хувьд Биномиал(n, p)-ийн дараа орох санамсаргүй хувьсагчийн X-ийн хүлээгдэж буй утга нь:
\[ E(X) = np \]
Хүлээгдэж буй үнэ цэнийн нотолгоо
Бином тархалтын хүлээгдэж буй утга яагаад np болохыг ойлгохын тулд бид хүлээгдэж буй утгын шугаман шинж чанарыг ашиглаж, хоёртын хувьсагчид тэдгээрийн оруулсан хувь нэмэрт хэрхэн нөлөөлж байгааг харж болно.
\(X \)-г n хоёртын туршилтын амжилтын тоо гэж тодорхойлъё. Тодруулбал, \(X_i \) нь i-р туршилтын үр дүнг илэрхийлсэн санамсаргүй хувьсагч бөгөөд хэрэв i-р туршилт амжилттай бол \(X_i = 1 \), хэрэв амжилтгүй бол \(X_i = 0 \) гэж үзнэ. Тэгвэл бид \(X \)-г дараах байдлаар бичиж болно:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
\(X_i \) хувьсагч бүр нь амжилттай болох магадлал p бүхий хоёртын хувьсагч тул \(X_i \)-ийн хүлээгдэж буй утга нь:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Бид X-ийн хүлээгдэж буй утгад хүлээгдэж буй утгын шугаман шинж чанарыг ашиглаж болно:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Энэ нь биномын тархалтын хүлээгдэж буй утга нь np болохыг харуулж байна.
Жишээ жишээ
Шударга зоосыг 10 удаа эргүүлсэн тохиолдлыг авч үзье. Толгой гарч ирэхэд хэдэн удаа эргүүлсний хүлээгдэж буй утга хэд болохыг асууцгаая.
Энэ тохиолдолд:
– n = 10 (зоос шидэлтийн тоо)
– p = 0.5 (зоос нь шударга тул толгой авах магадлал)
Тиймээс хүлээгдэж буй утга нь:
\[ E(X) = np = 10 \0.5 = 5-ыг үржүүлнэ \]
Энэ нь хэрэв бид зоосыг урт хугацаанд 10 удаа давтан шидвэл дунджаар 5 удаа зоосны толгойг авна гэсэн үг юм.
Дисперс ба стандарт хазайлт
Хүлээгдэж буй утгаас гадна биномын тархалтын дисперс ба стандарт хазайлтыг ойлгох нь чухал юм.
Биномиал тархалтын хувьд дисперс \( \sigma^2 \) ба стандарт хазайлт \( \sigma \) нь дараах байдалтай байна:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Дисперс нь өгөгдөл хүлээгдэж буй утгаас хэр хол тархсаныг хэмждэг. Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур бөгөөд өгөгдлийн тархалтыг анхны өгөгдөлтэй ижил нэгжээр хэмждэг.
Дүгнэлт
Биномиал тархалт нь статистик болон магадлалын үндсэн ойлголт бөгөөд бизнесээс эхлээд нийгмийн ухаан, биологи хүртэлх янз бүрийн бодит ертөнцийн хэрэглээнд байнга тохиолддог. Биномиал тархалтын хүлээгдэж буй утга нь np гэж тооцоолсон нь цуврал хоёртын туршилтуудын дундаж амжилтын тоонд чухал ойлголт өгдөг. Хүлээгдэж буй утга, дисперс болон стандарт хазайлтын тухай ойлголтуудыг ойлгосноор бид биномын тархалтын шинж чанар болон өдөр тутмын амьдрал дахь тодорхой үзэгдлийг хэрхэн дүрсэлдэг талаар илүү тодорхой ойлголттой болж чадна.
Энэхүү мэдлэг нь зөвхөн өгөгдлийн шинжилгээ, статистикт төдийгүй магадлал ба тодорхойгүй байдлыг үнэлэх шаардлагатай шийдвэр гаргахад маш их хэрэгтэй. Хүлээгдэж буй утга болон биномын тархалтыг ойлгох нь бидэнд илүү нарийвчлалтай таамаглал дэвшүүлж, илүү мэдээлэлтэй шийдвэр гаргахад тусалдаг.
