Квадрат функцийг байгуулах нь: Бүрэн гарын авлага
Пендахулуан
Математикийн хувьд квадрат функц нь тооцоолол болон шугаман алгебр зэрэг цаашдын судалгааны үндэс суурийг бүрдүүлдэг үндсэн сэдэв юм. Квадрат функцийг ашиглах нь онолоос давж, физик, механик инженерчлэлээс эхлээд эдийн засаг хүртэл өргөн хүрээний практик хэрэглээнд нэвтэрдэг. Энэ нийтлэлд квадрат функцийг хэрхэн байгуулах, түүний тодорхойлолт, ерөнхий хэлбэр, язгуур шийдлүүд, графикууд болон хэрэглээний талаар дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.
Квадрат функцийг ойлгох нь
Квадрат функц нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт функц бөгөөд ерөнхий хэлбэрээр илэрхийлж болно:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
энд \(a\), \(b\), болон \(c\) нь тогтмол коэффициентууд бөгөөд \(a \neq 0\) нь функц нь үнэхээр квадрат функц болохыг баталгаажуулдаг. Энэ хэлбэр нь квадрат функцийн стандарт хэлбэр юм.
Квадрат функцийн өөр хэлбэрүүд
Цааш үргэлжлүүлэхээсээ өмнө ерөнхий хэлбэрээс гадна квадрат функцийг илэрхийлэх хэд хэдэн арга байдгийг ойлгох нь чухал юм. Энд түгээмэл хэрэглэгддэг хоёр өөр хэлбэр байна:
1. Факторжуулалтын маягт
Квадрат функцийг факторжуулсан хэлбэрээр илэрхийлж болно, ялангуяа үндэс нь мэдэгдэж байгаа бол:
\[ f(x) = a(x – x_1)(x – x_2) \]
энд \(x_1\) ба \(x_2\) нь функцийн үндэс юм. Энэ факторизацийн арга нь бид функцийн шийдлийг аль хэдийн мэддэг үед маш хэрэгтэй байдаг.
2. Оргил хэлбэр (оргил)
Квадрат функцийг мөн оройн хэлбэрт хөрвүүлж болно, энэ нь:
\[ f(x) = a(x – h)^2 + k \]
энд \((h, k)\) нь параболын оройн координатууд юм. Энэ хэлбэр нь параболын байрлал болон үндсэн хэлбэрийг мэдэхийг хүсэхэд маш хэрэгтэй.
Квадрат функцийг бодох
\(ax^2 + bx + c = 0\) квадрат функцийн шийдлүүдийг (үндсийг) олох эсвэл бодохын тулд бид факторизаци, квадратыг гүйцээх, квадрат томъёо зэрэг хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно.
1. Факторжуулалт
Факторизацийн арга нь квадрат функцийг хоёр бином тооны үржвэрээр дахин бичихийг хэлнэ:
\[ ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2) \]
Жишээлбэл, \(x^2 – 5x + 6 = 0\) функцийг \((x – 2)(x – 3) = 0\) болгон задалж болох тул үндэс нь \(x = 2\) ба \(x = 3\) байна.
2. Талбайг гүйцээх
Энэ арга нь ерөнхий хэлбэрийг төгс дөрвөлжин хэлбэрт хөрвүүлэхийн тулд утгыг нэмэх болон хасах үйлдлийг агуулна:
1. Ерөнхий хэлбэрээс эхэлье: \(ax^2 + bx + c\).
2. Бүх зүйлийг \(a\)-д хуваана (хэрэв \(a \neq 1\) бол).
3. Тогтмол \(c/a\)-г тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлнэ үү.
4. \((b/2a)^2\)-г нэмэх ба хасах.
5. Зүүн талыг үржүүлэгчдэд задалж, баруун талыг нь хялбарчил.
Жишээлбэл, \(x^2 + 6x + 8 = 0\) функцийн хувьд:
\[x^2 + 6x = -8 \\
x^2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)^2 = 1
x + 3 = \pm 1 \]
энэ нь \(x = -2\) болон \(x = -4\) шийдлүүдийг өгдөг.
3. Квадрат томъёо
Квадрат функцийн үндсийг олох хамгийн түгээмэл бөгөөд найдвартай арга бол квадрат томъёо юм.
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Энэ томъёог ашиглан бид квадратыг хүчин зүйлд хуваах эсвэл гүйцээх боломжгүй байсан ч гэсэн аливаа квадрат функцийн язгуурыг олж чадна. Жишээлбэл, \(2x^2 + 4x – 6 = 0\)-г бодохын тулд:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} \\
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} \\
x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{4} \\
x = \frac{-4 \pm 8}{4} \]
Тэгэхээр бид хоёр шийдлийг олж авна: \(x = 1\) ба \(x = -3\).
Квадрат функцийн график
Квадрат функцийн график нь парабола юм. Энэ парабола нь коэффициентийн утгаас хамааран дээш эсвэл доош нээгдэж болно:
– Хэрэв \(a > 0\) бол парабола дээшээ нээгдэнэ.
– Хэрэв \(a < 0\) бол парабол доошоо нээгдэнэ. 1. Тэгш хэмийн орой ба тэнхлэг Параболын орой (\(h, k\)) нь квадрат функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага цэг юм. \(h\) оройн координатыг дараах томъёогоор олж болно: \[ h = \frac{-b}{2a} \] \(k\)-г авахын тулд \(h\)-ийн утгыг квадрат функц \(f(h) = k \)-д орлуулна. Жишээлбэл, \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\)-ийн хувьд: \[ h = \frac{-(-4)}{2 \cdot 2} = 1 \] \(x = 1\)-г функцэд орлуулна: \[ k = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 \] Тиймээс орой нь \((1, -1)\) байна. 2. Тэгш хэмийн тэнхлэг Параболын тэгш хэмийн тэнхлэг нь оройгоор дайран өнгөрөх босоо шугам юм.
