Тарилгын, сюръектив ба бижектив функцүүд
Математикийн, ялангуяа функцийн онолын хувьд ихэвчлэн хэлэлцдэг гурван чухал төрлийн функц байдаг: инъектив, сюръектив, бижектив. Эдгээр гурван төрлийн функц тус бүр нь эх олонлогийн (домэйн) элементүүдийг зорилтот олонлогийн (хүрээ эсвэл код домэйн) элементүүдтэй хэрхэн холбож байгааг тодорхойлдог өвөрмөц шинж чанартай байдаг. Энэ нийтлэлд эдгээр функц бүрийн тодорхойлолт, шинж чанар, жишээ, түүнчлэн янз бүрийн салбарт хэрэглэх талаар тоймлон харуулах болно.
Тарилгын функц
Инжектор функц буюу нэгээс нэг функц гэж нэрлэгддэг функц нь эх олонлогийн элемент бүрийг очих олонлогийн өвөрмөц элементтэй холбодог функц юм. Албан ёсны хэлбэрээр \(f : A \to B \) функцийг \(a_1, a_2 \in A \), \(f(a_1) = f(a_2) \) бүрийн хувьд инжектор функц гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв \(a_1 = a_2 \) гэсэн утгатай бол.
Илүү ойлгомжтойгоор хэлбэл, инъекция функц нь эх олонлогийн аль ч хоёр өөр элемент нь очих олонлогт ижил дүрстэй байхгүй байхыг баталгаажуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, очих олонлогийн элемент бүр өөртэй нь холбосон хамгийн ихдээ нэг эх олонлогийн элементтэй байдаг.
Жишээ:
– \(f(x) = 2x + 3 \) гэж тодорхойлогдсон \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) функцийг авч үзье. Энэ функц нь хэрэв \(f(a) = f(b) \) байвал \(2a + 3 = 2b + 3 \) байх тул инъекция юм. Энэ нь \(a = b \) гэсэн үг юм.
Хэрэглээ:
Инжектор функцийг ихэвчлэн индексжүүлэх эсвэл кодлох гэх мэт давхардал байхгүй эсэхийг баталгаажуулах шаардлагатай нөхцөлд ашигладаг.
Субъектив функц
Сюръектив функц буюу онто-функц гэдэг нь \(B\) очих олонлогийн элемент бүр нь эх олонлог \(A\)-аас өөртэй нь холбосон дор хаяж нэг элементтэй функц юм. Албан ёсны тэмдэглэгээнд \(f:A\to B\) функцийг сюръектив гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв \(b\in B\) бүрт \(f(a) = b\) байх дор хаяж нэг \(a\in A\) оршин байвал.
Өөрөөр хэлбэл, сюръектив функц нь очих газрын олонлог нь эх газрын олонлогийн дүрсээр бүрэн бүрхэгдсэн байхыг баталгаажуулдаг. Хүрэх газрын олонлогийн аль ч элемент "хамрагдахгүй".
Жишээ:
– \( f(x) = x^3 \) гэж тодорхойлогдсон \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) функцийг авч үзье. Энэ функц нь сюръектив юм, учир нь \( y \in \mathbb{R} \) бүрийн хувьд \( x^3 = y \) байх \( x \in \mathbb{R} \)-г олж болно.
Хэрэглээ:
Хүлээн авагч бүр өгөгчдийн багцаас ямар нэгэн зүйл авч байгаа эсэхийг баталгаажуулах шаардлагатай үед сэжектив функцийг нөөцийн хуваарилалт эсвэл хуваарилалтын хүрээнд өргөн ашигладаг.
Бижектив функц
Бижектив функц гэдэг нь инъекция болон сюръектив функц юм. Өөрөөр хэлбэл, бижектив функц нь нэгээс нэг болон дээрээс нь хоёулаа байдаг. Тиймээс бижектив функцэд эх олонлогийн элемент бүр нь очих олонлогийн элементтэй өвөрмөц байдлаар холбогддог бөгөөд эсрэгээрээ очих олонлогийн элемент бүр нь эх олонлогоос түүнд холбогддог яг нэг элементтэй байдаг.
Жишээ:
– \( f(x) = x + 1 \) гэж тодорхойлогдсон \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) функцийг авч үзье. Энэ функц нь бижектив учир нь:
– Тарилга: Хэрэв \(f(a) = f(b) \) байвал \(a + 1 = b + 1 \) нь \(a = b \)-г илэрхийлнэ.
– Таамаглал: \( y \in \mathbb{R} \) бүрийн хувьд бид \( f(x) = y \) байх \( x = y – 1 \)-г олж чадна.
Хэрэглээ:
Бижектив функцууд нь хувиргалт болон изоморфизмын хүрээнд онцгой чухал бөгөөд нэг багцаас нөгөө багц руу зураглахдаа элементүүдийн хоорондох бүтэц эсвэл харилцааг хадгалах шаардлагатай байдаг. Жишээлбэл, криптографид шифрлэлт болон тайлах түлхүүрүүд нь ихэвчлэн бижектив функцууд байдаг тул мессежүүдийг өвөрмөц байдлаар шифрлэж, тайлж болно.
Цаашдын дүн шинжилгээ
График ба диаграммууд
Эдгээр функцийг ойлгоход Венн диаграмм эсвэл график ашиглах нь ихэвчлэн тустай байдаг. Венн диаграммд тарилгын функцийг очих олонлогийн элемент бүр хамгийн ихдээ нэг ирж буй сумтайгаар дүрсэлж болно. Сюръектив функцийг очих олонлогийн элемент бүр дор хаяж нэг ирж буй сумтайгаар дүрсэлж болно. Бижектив функц нь эх болон очих олонлогийн элемент бүр яг нэг ирж буй сумтай байдаг бөгөөд энэ нь нэгээс нэг рүү харьцах харилцаа үүсгэдэг.
Урвуу функц
Тарилгын, сюръектив болон бижектив функцүүдийн хүрээнд ихэвчлэн судалдаг өөр нэг чухал тал бол урвуу функц юм.
– Тарилгын функц үргэлж зүүн урвуу функцтэй байдаг.
– Сюръектив функц нь үргэлж баруун урвуу функцтэй байдаг.
– Бижектив функц нь үргэлж өвөрмөц урвуу функцтэй байдаг.
Хэрэв функц нь бижектив бол зүүн ба баруун урвуу хоёулаа байх бөгөөд хоёулаа тэнцүү байх бөгөөд жинхэнэ урвуу функцийг үүсгэнэ.
Хаах
Инжектор, сюръектив болон бижектив функцийн тухай ойлголтуудыг ойлгох нь математикийн олон салбар болон тэдгээрийн практик хэрэглээний үндэс суурь юм. Инжектор функц нь давхардал үүсэхгүй байхыг баталгаажуулдаг; сюръектив функц нь бүрэн хамрах хүрээг баталгаажуулдаг; бижектив функц нь хоёр багцын элементүүдийн хооронд нэгээс нэг хүртэлх харилцааг баталгаажуулдаг. Эдгээр гурван төрлийн функцийн талаарх мэдлэг нь зөвхөн цэвэр математикт төдийгүй компьютерийн шинжлэх ухаан, эдийн засаг, инженерчлэл зэрэг салбарт чухал ач холбогдолтой. Эдгээр функцийн ажиллагаа, хэрэглээг бүрэн ойлгох нь илүү үр дүнтэй, үр дүнтэй дүн шинжилгээ, асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг нээж өгч чадна.
