Эргэлтийн динамикийн асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Эргэлтийн динамик нь физикийн чухал сэдэв бөгөөд эргэлдэгч объектуудын хөдөлгөөнийг авч үздэг. Энэ үзэгдэл нь инерцийн момент, эргүүлэх хүч, Ньютоны эргэлтийн хоёр дахь хууль, эргэлтийн кинетик энерги гэх мэт олон ойлголтыг хамардаг. Энэхүү нийтлэлд эдгээр ойлголтуудын талаарх бидний ойлголтыг тодруулахын тулд эргэлтийн динамикийн талаарх хэд хэдэн асуудал, хэлэлцүүлгийг танилцуулах болно.
1. Инерцийн момент ба эргүүлэх хүч
Асуулт:
2 кг масстай, 0.5 м радиустай нимгэн цагираг төв тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг. Цагирагийн инерцийн моментийг тооцоол. Хэрэв түүнд 6 Нм эргүүлэх хүч үйлчилбэл үүссэн өнцгийн хурдатгал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Төв тэнхлэгээ тойрсон нимгэн цагиргийн инерцийн момент \(I\) нь:
\[ I = MR^2 \]
Хэрэв \(M = 2\) кг ба \(R = 0.5\) м байвал:
\[ I = 2 \удаа (0.5)^2 \]
\[ I = 2 \үргэлжлэл 0.25 \]
\[ I = 0.5 \, \text{kg} \, \text{m}^2 \]
Өнцгийн хурдатгал (\(\alpha\))-г эргүүлэх хүч (\(\tau\)) болон инерцийн момент (\(I\)) ашиглан тооцоолж болно:
\[ \tau = I \alpha \]
\[ \alpha = \frac{\tau}{I} \]
\(\tau = 6\) Нм ба \(I = 0.5\) кг м² үед:
\[ \alpha = \frac{6}{0.5} \]
\[ \alpha = 12 \, \text{rad/s}^2 \]
Тиймээс цагирагны инерцийн момент нь 0.5 кг м² бөгөөд үүссэн өнцгийн хурдатгал нь 12 рад/с² байна.
2. Эргэлтийн кинетик энерги
Асуулт:
4 кг масстай, 0.3 м радиустай хатуу цилиндр 10 рад/с өнцгийн хурдтайгаар эргэлдэнэ. Цилиндрийн эргэлтийн кинетик энергийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эргэлтийн кинетик энерги (\(K\))-ийг дараах байдлаар томъёолно.
\[ K = \frac{1}{2} I \omega^2 \]
энд \(\омега\) нь өнцгийн хурд, \(I\) нь инерцийн момент юм. Хатуу цилиндрийн хувьд (\(I = \frac{1}{2}MR^2\)):
\[ I = \frac{1}{2} \times 4 \times (0.3)^2 \]
\[ I = 2 \үргэлжлэл 0.09 \]
\[ I = 0.18 \, \text{kg} \, \text{m}^2 \]
Эргэлтийн кинетик энергийн тэгшитгэлд \(I\) болон \(\омега\) утгуудыг орлуулна уу:
\[ K = \frac{1}{2} \удаа 0.18 \удаа (10)^2 \]
\[ K = 0.09 \100-г үржүүлсэн \]
\[ K = 9 \, \text{J} \]
Тиймээс хатуу цилиндрийн эргэлтийн кинетик энерги нь \(9\) Жоуль юм.
3. Ньютоны эргэлтийн хоёрдугаар хууль
Асуулт:
Дамар дугуй нь 0.4 м радиустай ба 0.8 кг м² инерцийн моменттой. Дугуйны ирмэг дээр тангенциал байдлаар 20 Н хүч үйлчилнэ. Дугуйны өнцгийн хурдатгалыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Юуны өмнө бид эргүүлэх хүчийг тооцоолно \(\tau\):
\[ \tau = F \times R \]
\[ \tau = 20 \үргэлжлэл 0.4 \]
\[ \tau = 8 \, \text{Nm} \]
Дараа нь эргэлтийн хувьд Ньютоны хоёр дахь хуулийг ашиглана уу:
\[ \tau = I \alpha \]
\[ \alpha = \frac{\tau}{I} \]
\(\tau = 8 \, \text{Nm}\) болон \(I = 0.8 \, \text{kg m}^2\) үед:
\[ \alpha = \frac{8}{0.8} \]
\[ \alpha = 10 \, \text{rad/s}^2 \]
Тиймээс дугуйны өнцгийн хурдатгал нь \(10\) рад/с² байна.
4. Тангенс ба орчуулгын хоорондын хамаарал
Асуулт:
1 кг масстай, 0.2 м радиустай бөмбөг 5 рад/с өнцгийн хурдтай шалан дээр гулсахгүйгээр өнхөрнө. Бөмбөгний массын төвийн шугаман хурдыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Гулсахгүйгээр өнхөрч буй хөдөлгөөний өнцгийн хурд (\(\омега\)) ба шугаман хурд (\(v\))-ийн хоорондын хамаарал нь:
\[ v = \омега R \]
\(\омега = 5\) рад/с ба \(R = 0.2\) м-ийн үед:
\[ v = 5 \ дахин 0.2 \]
\[ v = 1 \, \text{m/s} \]
Тиймээс бөмбөгний массын төвийн шугаман хурд нь \(1\) м/с байна.
5. Орчуулгын болон эргэлтийн кинетик энергийн хослол
Асуулт:
2 кг масстай, 0.1 м радиустай цул цилиндр 3 м өндөртэй налуу хавтгайгаар доош өнхөрнө. Цилиндрийн налуу хавтгайн ёроолд хүрэх үеийн хурдыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Цилиндр гулсахгүйгээр өнхрөхөд таталцлын потенциал энерги нь шилжилтийн кинетик энерги ба эргэлтийн кинетик энерги болж хувирдаг. Нийт энергийг \(E\) дараах байдлаар илэрхийлж болно:
\[ E = mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \]
Хатуу цилиндр = \(\frac{1}{2}MR^2\), ба \(\omega = \frac{v}{R}\)-ийн хувьд \(I\)-г авч үзвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно:
\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(\frac{v^2}{R^2}\right) \]
\[ 2 \times 9.8 \times 3 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 \right) \]
\[ 58.8 = v^2 + \frac{1}{2}v^2 \]
\[ 58.8 = \frac{3}{2}v^2 \]
\[ v^2 = \frac{58.8 \times 2}{3} \]
\[ v^2 = 39.2 \]
\[ v = \sqrt{39.2} \]
\[ v \approx 6.26 \, \text{m/s} \]
Тиймээс цилиндрийн налуу хавтгайн ёроолд хүрэх хурд нь ойролцоогоор \(6.26\) м/с байна.
Дүгнэлт
Эдгээр бодлогуудаар дамжуулан бид эргэлтийн динамикийн хэд хэдэн чухал ойлголтуудыг судалсан бөгөөд үүнд инерцийн момент, эргүүлэх хүч, эргэлтийн кинетик энерги, Ньютоны эргэлтийн хоёр дахь хууль, эргэлтийн болон шилжилтийн хөдөлгөөний хоорондын хамаарал орно. Эдгээр ойлголтуудыг сайн ойлгох нь эргэлтийн хөдөлгөөнтэй холбоотой бодит ертөнцийн асуудлуудыг шинжлэх, шийдвэрлэхэд тусална.
