Векторууд нь физикийн чухал ойлголт бөгөөд хэмжигдэхүүн ба чиглэлийн аль алинаар нь хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэхэд ашиглагддаг. Физикийн хувьд векторуудыг хүч, хурд, хурдатгал гэх мэт янз бүрийн үзэгдлийг тодорхойлоход ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нийтлэлд физикийн векторын бодлогын хэд хэдэн жишээг тэдгээрийн шийдэл, тайлбарын хамт авч үзэх болно.
1. Векторын нэмэх ба хасах
Жишээ асуулт 1:
\(\mathbf{A}\) ба \(\mathbf{B}\) гэсэн хоёр векторыг дараах байдлаар өгнө:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Тооцоолох:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)
Шийдэл:
Хоёр вектор нэмэхийн тулд бид тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тусад нь нэмнэ.
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2)) \ mathbf {i} + (4 - 5) \ mathbf {j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Тэгэхээр, үр дүн нь:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
2. Скаляр үржвэр (цэгийн үржвэр)
Жишээ асуулт 2:
\(\mathbf{C}\) болон \(\mathbf{D}\) гэсэн хоёр векторыг дараах байдлаар өгнө:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\(\mathbf{C}\) болон \(\mathbf{D}\)-ийн скаляр үржвэрийг (цэгэн үржвэр) тооцоол.
Шийдэл:
\(\mathbf{C}\) ба \(\mathbf{D}\) гэсэн хоёр векторын скаляр үржвэр нь:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{C}\) ба \(\mathbf{D}\)-ийн скаляр үржвэрийн үр дүн нь 26 байна.
3. Хөндлөн бүтээгдэхүүн
Жишээ асуулт 3:
\(\mathbf{E}\) болон \(\mathbf{F}\) гэсэн хоёр векторыг дараах байдлаар өгнө:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
\(\mathbf{E}\) ба \(\mathbf{F}\)-ийн хөндлөн үржвэрийг тооцоол.
Шийдэл:
\(\mathbf{E}\) ба \(\mathbf{F}\) гэсэн хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг матрицын тодорхойлогч ашиглан тооцоолж болно:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \эхлэх{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4, 5, 6
\end{vmatrix}
\]
Матрицын тодорхойлогчийг тооцоол:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2) \cdot
\]
\[
= \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{E}\) болон \(\mathbf{F}\)-ийн огтлолцсон үржвэрийн үр дүн нь:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
4. Векторын хэмжээс
Жишээ асуулт 4:
\(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\ вектор өгөгдсөн. \(\mathbf{G}\) векторын хэмжээг (уртыг) тооцоол.
Шийдэл:
Векторын хэмжээг дараах томъёогоор тооцоолж болно. \(\mathbf{G}\)
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{G}\) векторын хэмжээ нь 5 байна.
5. Векторын нягтрал
Жишээ асуулт 5:
\(\mathbf{H}\) вектор нь 10 нэгжийн хэмжээтэй бөгөөд x тэнхлэгтэй 30° өнцөг үүсгэдэг. \(\mathbf{H}\) векторын x ба y тэнхлэг дээрх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойл.
Шийдэл:
x (\(\mathbf{H}_x\)) болон y (\(\mathbf{H}_y\)) тэнхлэгүүд дээрх \(\mathbf{H}\) векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тригонометр ашиглан тооцоолж болно:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \син(\тета)
\]
\(|\mathbf{H}| = 10\) болон \(\theta = 30°\)-тэй үед:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \sin(30°)
\]
\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) болон \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\-ийн утгууд:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
Тэгэхээр, векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь:
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]
Дүгнэлт
Энэ нийтлэлд бид векторуудыг хамарсан хэд хэдэн жишээ бодлогыг физикт хэлэлцсэн бөгөөд үүнд вектор нэмэх ба хасах, скаляр ба хөндлөн үржүүлэхээс эхлээд векторын хэмжээ ба нягтрал хүртэл багтана. Векторуудын тухай ойлголт, үйл ажиллагааг ойлгох нь физикт маш чухал юм, учир нь олон байгалийн үзэгдлийг вектор ашиглан тайлбарлаж болно. Эдгээр жишээ бодлогууд нь танд векторуудын тухай ойлголтыг илүү гүнзгий ойлгоход тусална гэж найдаж байна.
