Векторууд болон тэдгээрийн үйлдлүүдийн талаарх жишээ асуултууд
Векторууд нь математик, физикийн үндсэн ойлголт бөгөөд шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт түгээмэл хэрэглэгддэг. Векторууд нь хэмжээ болон чиглэлтэй хэмжигдэхүүнүүдийг илэрхийлдэг. Доор векторуудтай холбоотой зарим жишээ бодлого болон нэмэх, хасах, скаляраар үржүүлэх зэрэг янз бүрийн үйлдлийн хэлэлцүүлгийг харуулав. Энэ нийтлэлд векторуудтай холбоотой бодлогуудыг хэрхэн бодох талаар гүнзгий ойлголт өгөх болно.
1. Векторын нэмэлт
Жишээ асуулт 1
Бүрэлдэхүүн хэлбэрээр хоёр вектор өгөгдсөн:
А = (3, 4)
B = (1, 2)
А ба В векторуудыг нэмэх үр дүнг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Векторын нэмэлтийг хоёр векторын харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх замаар хийдэг. Тиймээс бид тооцоолж болно
\[
A + B = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
Тэгэхээр А ба В векторуудыг нэмэх үр дүн нь (4, 6) байна.
2. Векторын хасалт
Жишээ асуулт 2
Бүрэлдэхүүн хэлбэрээр хоёр вектор өгөгдсөн:
C = (5, 7)
D = (2, 3)
D вектороос C векторыг хассаны үр дүнг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Векторын хасалтыг хоёр векторын харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хасаж хийнэ. Тиймээс бид тооцоолж болно
\[
C – D = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Тэгэхээр C ба D векторуудыг хасах үр дүн нь (3, 4) байна.
3. Векторуудыг скаляраар үржүүлэх
Жишээ асуулт 3
Өгөгдсөн вектор E = (4, -2) ба скаляр k = 3 байна. E векторыг скаляр k-аар үржүүлсний үр дүнг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Векторыг скаляраар үржүүлэх нь векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг скаляраар үржүүлэх замаар хийгддэг. Тиймээс бид тооцоолж болно
\[
k E = 3 (4, -2) = (3 4, 3 -2) = (12, -6)
\]
Тэгэхээр, E векторыг скаляр k-д үржүүлэх үр дүн нь (12, -6) байна.
4. Цэгэн бүтээгдэхүүн
Жишээ асуулт 4
Бүрэлдэхүүн хэлбэрээр хоёр вектор өгөгдсөн:
F = (1, 3)
G = (4, 2)
F ба G векторуудын цэгэн үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Хоёр векторын цэгэн үржвэр нь тэдгээрийн харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм. Тиймээс бид тооцоолж болно
\[
F \cdot G = (1 4) + (3 2) = 4 + 6 = 10
\]
Тиймээс F ба G векторуудын цэгэн үржвэр нь 10 байна.
5. Хөндлөн бүтээгдэхүүн
Жишээ асуулт 5
3D форматаар өгөгдсөн хоёр вектор:
H = (2, -3, 1)
I = (1, 4, -2)
H ба I векторуудын хөндлөн үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Хоёр 3 хэмжээст векторын хөндлөн үржвэрийг хоёр векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулсан матрицын тодорхойлогч гаргана. Үр дүнгийн вектор нь дараах бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй байна:
\[
H \times I = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -3 & 1 \\
1 & 4 & -2 \\
\end{vmatrix}
\]
Тодорхойлогчийг тооцоолсноор бид дараахь зүйлийг авна.
\[
H \удаа I = (\mathbf{i}((-3)(-2) – (1)(4)) – \mathbf{j}(2(-2) – (1)(1)) + \mathbf{k}(2(4) – (-3)(1)))
\]
\[
= (\mathbf{i}(6 – 4) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(8 + 3))
\]
\[
= (\mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(11))
\]
\[
= (2, 5, 11)
\]
Тэгэхээр H ба I векторуудын огтлолцсон үржвэр нь (2, 5, 11) байна.
6. Векторын урт буюу хэмжээ
Жишээ асуулт 6
J = (6, 8) вектор өгөгдсөн. J векторын уртыг (магни) тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Векторын уртыг (хэмжээг) дараах томъёогоор тооцоолно.
\[
\| J \| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Энэ тохиолдолд, \( x = 6 \) ба \( y = 8 \), ингэснээр:
\[
\| J \| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
Тэгэхээр J векторын урт (хэмжээ) нь 10 байна.
7. Нэгжийн вектор
Жишээ асуулт 7
K = (-5, 12) вектор өгөгдсөн. K-ийн нэгж векторыг ол.
Хэлэлцүүлэг
Нэгж вектор гэдэг нь 1 урттай вектор юм. Векторын нэгж векторыг олохын тулд бид векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг векторын урт (хэмжээ)-д хуваах ёстой. K векторын уртыг дараах байдлаар тооцоолж болно.
\[
\| K \|= \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Тэгвэл нэгж вектор K нь:
\[
\hat{K} = \left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)
\]
Тэгэхээр, K векторын нэгж вектор нь \(\left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)\) байна.
Дүгнэлт
Дээрх жишээнүүдээр дамжуулан бид векторууд болон тэдгээрийн үйлдлүүд янз бүрийн нөхцөлд хэрхэн ажилладагийг харсан. Вектор нэмэх ба хасах нь харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх ба хасахыг агуулдаг. Векторын үржвэрийг скаляр эсвэл цэгэн үржвэр хэлбэрээр, мөн 3 хэмжээст векторуудын хувьд хөндлөн үржвэр хэлбэрээр гүйцэтгэж болно. Бид векторын уртыг тодорхойлж, түүний нэгж векторыг олж чадна.
Векторуудыг физик, инженерчлэл, компьютерын график зэрэг өргөн хүрээний салбарт олон төрлийн хэрэглээнд ашигладаг тул эдгээр үндсэн ойлголтуудыг ойлгох нь маш чухал юм. Хангалттай дадлага хийснээр бид эдгээр үйлдлүүдийг эзэмшиж, илүү нарийн төвөгтэй шинжилгээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж чадна.
