Шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын системийг авч үзэх жишээ асуултууд
Шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын системүүд нь математикийн чухал сэдэв бөгөөд эдийн засаг, шинжлэх ухаан, инженерчлэл зэрэг янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нийтлэлд бид шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын системүүдтэй холбоотой жишээ бодлогууд болон тэдгээрийг хэрхэн бодох талаар дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолт
Шугаман тэгшитгэлийн систем нь хоорондоо холбоотой хоёр ба түүнээс дээш шугаман тэгшитгэлээс бүрдэнэ. Жишээ нь:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
2x + 3y = 5
4x – y = 1
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Энэ системийг бодох зорилго нь хоёр тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах \(x\) ба \(y\) утгуудыг олох явдал юм.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох аргууд
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг, үүнд:
1. Орлуулах арга
2. Устгах арга
3. Матрицын арга (Урвуу эсвэл Гаусс-Жордан)
Жишээ асуулт 1: Орлуулах арга
Дараах системийг орлуулах аргыг ашиглан бодъё.
\[
\эхлэх{тохиолдол}
x + 2y = 10
3x – y = 5
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Лангка-лангка:
1. Тэгшитгэлүүдийн аль нэгний хувьсагчдын нэгийг тусгаарла.
Эхний тэгшитгэлээс бид \(x\)-г ялгаж авна:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Олдсон илэрхийллийг нөгөө тэгшитгэлд орлуул.
Хоёр дахь тэгшитгэлд \(x = 10 – 2y\)-г орлуулна уу:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
\(y\)-г бод:
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Бусад хувьсагчдыг олохын тулд олдсон утгуудыг ашиглана уу.
\(x\) илэрхийллийг \(y = \frac{25}{7}\) гэж буцааж орлуулна уу:
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Тэгэхээр системийн шийдлүүд нь \(x = \frac{20}{7} \) ба \(y = \frac{25}{7} \) байна.
Жишээ асуулт 2: Устгах арга
Дараа нь дараах системийг шийдэхийн тулд арилгах аргыг ашиглая.
\[
\эхлэх{тохиолдол}
2x + 3y = 12
4x + 6y = 24
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Энэ тохиолдолд хоёр дахь тэгшитгэл нь эхний тэгшитгэлийн үржвэр болохыг бид харж байна. Системийг багасгахын тулд бид эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлээс хасаж болно:
1. Эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүл:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Хоёр дахь тэгшитгэлээс үржүүлсэн эхний тэгшитгэлийг хасна уу:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Энэ нь \(0 = 0\) гэсэн утгыг өгдөг бөгөөд энэ нь систем нь хязгааргүй шийдэлтэй бөгөөд эдгээр тэгшитгэлүүд нь хамааралтай болохыг харуулж байна.
Жишээ асуулт 3: Шугаман тэгш бус байдал
Шугаман тэгш бус байдал нь шугаман тэгшитгэлтэй төстэй зарчмуудыг баримталдаг боловч \(<, \leq, >, \geq\) гэх мэт тэгш бус байдлын тэмдэгтэй байдаг. Энгийн жишээг авч үзье:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Алхамууд: 1. Бид энэ системийн шийдлийн мужийг тодорхойлохын тулд график аргыг ашигладаг. Тэгш бус байдал бүрийг графикаар зур. 2. Хилийн шугамыг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийг тэгшитгэл болгон хөрвүүл: \(3x - y < 7\) үед хилийн шугам нь \(3x - y = 7\) байна.
