Тригонометрийн харьцааны талаарх жишээ асуултууд
Тригонометр бол гурвалжны талууд ба өнцгүүдийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийн нэг чухал тал бол синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan) зэрэг тригонометрийн харьцааг ойлгох явдал юм. Энэ нийтлэлд тригонометрийн үндсэн ойлголтуудыг бүрэн ойлгоход туслах тригонометрийн харьцааны хэд хэдэн жишээ болон тэдгээрийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг авч үзэх болно.
Жишээ асуулт 1: Sin, Cos, Tan-ийн утгуудыг тооцоолох
Асуулт:
Хэрэв эсрэг талын урт (эсрэг өнцөг) 3 см, зэргэлдээ талын (суурийн) урт 4 см, гипотенузын (гипотенуз) урт 5 см байвал нэг оюутнаас тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийн sin, cos, болон tan утгуудыг олохыг хүснэ.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний алхам бол өгөгдсөн өнцөгт хамаарах тал бүрийг тодорхойлох явдал юм. Сонгодог Пифагорын гурвалсан (3, 4, 5) талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжинд бид үндсэн тригонометрийн томъёог шууд ашиглаж болно.
– Синус (sin) нь эсрэг талын урт ба гипотенузын харьцаа юм.
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{урд тал}}{\text{гипотенуз}} = \frac{3}{5}
\]
– Косинус (cos) нь зэргэлдээ талын урт ба гипотенузын харьцаа юм.
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{зэргэлдээ тал}}{\text{гипотенуз}} = \frac{4}{5}
\]
– Тангенс (тангенс) нь урд талын урт ба хажуугийн уртын харьцаа юм.
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{урд тал}}{\text{тал тал}} = \frac{3}{4}
\]
Тиймээс өнцгийн тригонометрийн харьцааны утгууд нь (\тета\) нь:
\[
\sin(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{3}{4}
\]
Жишээ асуулт 2: Тригонометрийн харьцаа ашиглан гурвалжны талыг олох
Асуулт:
\( \alpha = 30^\circ \) өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн. Хэрэв \( \alpha \) өнцгийн эсрэг талын урт 4 см бол нөгөө талын уртыг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
\( 30^\circ \ өнцгийн тригонометрийн харьцааны утгыг ашиглан:
– \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{урд тал}}{\text{гипотенуз}} = \frac{4}{\text{гипотенуз}}
\]
\[
\text{Гипотенуз} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \text{ см}
\]
– \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{зэргэлдээ тал}}{\text{гипотенуз}} = \frac{\text{зэргэлдээ тал}}{8}
\]
\[
\text{Хажуу тал} = 8 \cos(30^\circ) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}
\]
Тиймээс нөгөө талын урт нь √4 см, гипотенуз нь 8 см байна.
Жишээ 3: Декартын координатад тригонометрийг ашиглах нь
Асуулт:
Хэрэв цэг нь I квадрантад эерэг x тэнхлэгтэй \(\тета\) өнцөг үүсгэж байвал \(P(3, 4)\) цэгийн хувьд sin, cos, болон tan утгуудыг Декартын координатаар тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд үүссэн гурвалжны гипотенуз болох (O) цэгээс \(P(3, 4)\) цэгийн зайг тооцоол.
– Гипотенуз (\(r\))-г Пифагорын теорем ашиглан тооцоолж болно:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Тэгвэл P цэгийн тригонометрийг дараах байдлаар тооцоолж болно.
– Синус (sin) нь ординат (y) ба гипотенуз (r)-ийн харьцаа юм:
\[
\sin(\theta) = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}
\]
– Косинус (cos) нь абцисса (x) ба гипотенуз (r)-ийн харьцаа юм:
\[
\cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]
– Тангенс (tan) нь ординат (y) ба абцисса (x)-ийн харьцаа юм:
\[
\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
\]
Тиймээс P цэгийн тригонометрийн утга нь:
\[
\sin(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{4}{3}
\]
Жишээ асуулт 4: Тригонометрийн ижилтгүүдийг ашиглах нь
Асуулт:
Хэрэв \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \) бол тригонометрийн ижил утгыг \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \) ашиглан \( \cos(\theta) \) утгыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлаас эхэлнэ:
\[
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
\]
Өгөгдсөн \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \) бол:
\[
\sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
\cos^2(\theta) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]
\( \cos(\theta) \) утга нь \(\theta\)-ийн өнцгийн квадрантаас хамааран эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Гэхдээ тодорхой квадрантын тодорхойлолтгүй энэ бодлогын хувьд бид I квадрантын хувьд \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) эсвэл II, III, эсвэл IV квадрантын хувьд \( -\frac{4}{5}\) ашиглана.
Дүгнэлт
Гурвалжингийн өнцөг ба урттай холбоотой янз бүрийн бодлогуудыг бодоход тригонометрийн харьцааг ойлгох нь чухал юм. Дээрхтэй адил бодлогуудыг бодох дадлага хийснээр та гурвалжингийн талууд ба өнцгүүдийн хоорондын хамаарлыг тооцоолж, ойлгох чадвараа сайжруулж чадна. Тригонометрийг зөвхөн цэвэр математикт төдийгүй физик, инженерчлэл, одон орон зэрэг шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт хэрэглэдэг. Дадлага хийхэд тань амжилт хүсье!
