Векторын үйлдлийн хэлэлцүүлгийн асуултуудын жишээ
Векторын үйлдлүүд нь физик, инженерчлэл, компьютерын шинжлэх ухаан зэрэг судалгааны янз бүрийн салбарт байнга гарч ирдэг математикийн үндсэн ойлголт юм. Энэ нийтлэлд бид векторын үйлдлүүдийн хэд хэдэн жишээ болон тэдгээрийн шийдлүүдийг илүү гүнзгий, тодорхой ойлголт өгөхийн тулд авч үзэх болно. Эдгээр жишээнүүд нь вектор нэмэх, хасах зэрэг үндсэн үйлдлүүд, мөн скаляр үржвэр болон хөндлөн вектор үржвэр зэрэг илүү дэвшилтэт үйлдлүүдийг хамарна.
1. Векторын нэмэх ба хасах
Жишээ асуулт 1
А ба В хоёр векторыг бүрэлдэхүүн хэлбэрээр өгсөн:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Хоёр векторын нэмэх ба хасах үр дүнг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Вектор нэмэхийн тулд бид хоёр векторын харгалзах бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг нэмнэ.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Векторыг хасахын тулд бид хоёр векторын харгалзах бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг хасна.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Вектороор скаляр үржүүлэх
Жишээ асуулт 2
C вектор болон скаляр k өгөгдсөн:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ k = 4 \]
С векторын скаляр үржвэрийг скаляр k-аар тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Скалярыг вектороор үржүүлэх нь векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг скаляраар үржүүлэх замаар хийгддэг.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Цэгэн бүтээгдэхүүн
Жишээ асуулт 3
D ба E гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \эхлэх{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \төгсгөл{pmatrix} \]
Хоёр векторын цэгэн үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Хоёр векторын цэгэн үржвэрийг тэдгээрийн харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үржвэрийг нэмэх замаар олж авна.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Хөндлөн бүтээгдэхүүн
Жишээ асуулт 4
F ба G гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг эдгээр векторуудын үүсгэсэн матрицын тодорхойлогчийг ашиглан олж авна. Хөндлөн үржвэрийг дараах томъёогоор өгнө.
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \эхлэх{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \төгсгөл{vmatrix} \]
Үүнийг дараах аргаар тооцоолж болно:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \эхлэх{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \төгс{vmatrix} – \mathbf{j} \эхлэх{vmatrix} 2 ба 4 \\ 1 & 2 \төгс{vmatrixf} {v \matrix} {v \ma 3 \\ 1 & -1 \төгсгөл{vmatrix}
\]
Дэд матриц бүрийн тодорхойлогчийг тооцоолох нь:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Тиймээс F ба G-ийн хөндлөн үржвэр нь:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Хоёр векторын хоорондох өнцгийг тодорхойлох
Жишээ асуулт 5
H ба I гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Хоёр векторын хоорондох өнцгийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг
Хоёр векторын хоорондох өнцгийг цэгэн үржвэр ба хоёр векторын хэмжээсийн хоорондын хамаарлыг ашиглан олж болно:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Эхлээд цэгэн үржвэрийг тооцоол \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
Дараа нь хоёр векторын хэмжээг тооцоолно уу:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Дараа нь эдгээр утгуудыг өнцгийн томъёонд орлуулна уу:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
Эцсийн үр дүнд бид өнцгийн утгыг олохын тулд тооцоолуур ашиглаж болно:
\[ \theta \approx 73,4^\circ \]
Дүгнэлт
Векторын үйлдлүүдийн тухай ойлголт нь математик болон шинжлэх ухаанд чухал ач холбогдолтой. Энэ нийтлэлд вектор нэмэх ба хасах, скаляр үржүүлэх, цэгэн үржвэр, хөндлөн үржвэр, хоёр векторын хоорондох өнцгийг тодорхойлох зэрэг хэд хэдэн жишээ бодлого болон тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно. Эдгээр жишээнүүдийг судалснаар бид векторын үйлдлүүдийн талаарх таны ойлголтыг сайжруулж, янз бүрийн нөхцөлд векторуудтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд тань туслах болно гэж найдаж байна.
