Хэвийн тархалтын хүлээгдэж буй утгын талаарх хэлэлцүүлгийн асуултын жишээ
Гауссын тархалт гэгддэг хэвийн тархалт нь статистик болон магадлалын чиглэлээр хамгийн их хэрэглэгддэг тасралтгүй магадлалын тархалтын нэг юм. Энэхүү тархалтыг тэгш хэм, дундаж (µ) ба стандарт хазайлт (σ) бүхий параметрчилэл дэх өвөрмөц байдал зэрэг таатай математик шинж чанаруудаас шалтгаалан янз бүрийн статистик дүгнэлтэд үндсэн таамаглал болгон ашигладаг. Энэ нийтлэлд энэ ойлголтыг илүү гүнзгий ойлгохын тулд жишээнүүдийг авч үзэх, хэвийн тархалтын хүлээгдэж буй утгыг хэлэлцэх болно.
Хэвийн тархалтыг ойлгох нь
Хэвийн тархалтыг тэгш хэмтэй хонхны муруйгаар дүрсэлсэн бөгөөд ихэнх утгууд нь дунд утга буюу дундаж орчимд төвлөрдөг. Энэхүү тархалтын хүрээнд дундаж (µ) ба стандарт хазайлт (σ) нь өгөгдөл дэх тархалтын байршил болон хэмжээг тодорхойлдог хоёр чухал параметр юм.
Хэвийн тархалтын магадлалын нягтралын функц (PDF) нь:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
ди мана:
– \( \mu \) нь дундаж буюу дундаж утга юм
– \( \sigma \) нь стандарт хазайлт юм
– \( x \) нь санамсаргүй хувьсагч юм
Хэвийн тархалтын хүлээгдэж буй утга
Хэвийн тархалттай санамсаргүй хувьсагчийн хүлээгдэж буй утга нь тархалтын дундажтай тэнцүү байна. Хэрэв \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \) бол хүлээгдэж буй утга \(E(X) \) нь:
\[ E(X) = \mu \]
Ойлголтоо бэхжүүлэхийн тулд хэвийн тархалт дахь хүлээгдэж буй утгуудтай холбоотой зарим асуудлын жишээг үргэлжлүүлье.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1:
\(X \) нь \(\mu = 50 \) ба \(\sigma = 10 \) бүхий хэвийн тархалттай санамсаргүй хувьсагч гэж үзье. \(X \)-ийн хүлээгдэж буй утгыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Өмнө дурдсанчлан, хэвийн тархалттай үед хүлээгдэж буй утга \(E(X) \) нь \( \mu \)-тэй тэнцүү байна. Тиймээс,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Жишээ асуулт 2:
Өгөгдсөн санамсаргүй хувьсагч \(Y\) нь \(\mu = 120\) ба \(\sigma = 15\) гэсэн утгатай хэвийн тархалттай байна. \(Y\)-ийн хүлээгдэж буй утгыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний жишээтэй адил \(Y\)-ийн хүлээгдэж буй утга нь хэвийн тархалтын дундаж утга эсвэл дундаж утга юм, тухайлбал:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Жишээ асуулт 3:
Хэрэв санамсаргүй хувьсагч \(Z \) нь \(\mu = 0 \) ба \(\sigma = 1 \) гэсэн хэвийн тархалтыг дагадаг бол \(Z \)-ийн хүлээгдэж буй утга хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Стандарт хэвийн тархалт нь дундаж утга нь \(\mu = 0 \) тул хүлээгдэж буй утга нь \(E(Z) \) байна:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Жишээ асуулт 4:
\(W\) нь дундаж \(\mu = 75\) ба стандарт хазайлт \(\sigma = 20\) бүхий хэвийн тархалттай санамсаргүй хувьсагч гэж үзье. Хэрэв бид шинэ санамсаргүй хувьсагч \(V = 2W + 3\) тодорхойлвол \(V\)-ийн хүлээгдэж буй утга хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
\(V\)-ийн хүлээгдэж буй утгыг олохын тулд бид хүлээгдэж буй утгын шугаман шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. \(V = 2W + 3\) өгөгдсөн бол:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Хүлээгдэж буй утгын шугаман чанарын шинж чанарт үндэслэн бид тогтмолыг санамсаргүй хувьсагчаас ялгаж салгаж болно:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Тогтмол утгын хүлээгдэж буй утга нь тогтмол өөрөө гэдгийг мэдэх нь:
\[ E(3) = 3 \]
Мөн \(W\)-ийн хүлээгдэж буй утга нь \(W\) хэвийн тархалтын дундаж юм:
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Тэгэхээр,
\[ E(V) = 2 \үржвэр 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Жишээ асуулт 5:
Санамсаргүй хувьсагч \(Q\) нь дундаж \(\mu = 40\) ба стандарт хазайлт \(\sigma = 5\) бүхий хэвийн тархалтыг дагадаг. Хэрэв \[U = Q/2\] бол \(Q\)-ийн хүлээгдэж буй утга хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Бид 4-р жишээн дээрхтэй адил зарчмыг, тухайлбал хүлээгдэж буй утгын шугаман чанарын шинж чанарыг ашигладаг. \( U = Q/2 \) гэж үзвэл:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Хүлээгдэж буй утгын шугаман чанарын шинж чанарт үндэслэн:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
\(Q\)-ийн хүлээгдэж буй утга нь \(Q\) хэвийн тархалтын дундаж болохыг бид мэднэ:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Тэгэхээр,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \үргэлжлэл 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Дүгнэлт
Хэвийн тархалттай үед санамсаргүй хувьсагчийн хүлээгдэж буй утга нь үргэлж тархалтын дундаж (µ)-тэй тэнцүү байдаг. Дээрх жишээ бодлогууд нь шугаман шинж чанарыг ашиглан хүлээгдэж буй утгыг тооцоолох янз бүрийн нөхцлийг харуулж байна. Энэхүү үндсэн ойлголтыг ойлгох нь статистик болон магадлалын хэвийн тархалтын бодлогуудыг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.
Хэвийн тархалт нь статистикт чухал ач холбогдолтой бөгөөд учир нь үүнийг таамаглалын туршилт, параметрийн тооцоолол болон бусад янз бүрийн статистик дүгнэлт зэрэг өргөн хүрээний практик хэрэглээнд ашигладаг. Энэхүү тархалтын хүлээгдэж буй утгыг сайн ойлгох нь өгөгдлийн шинжилгээний чухал эхний алхам юм.
Энэ нийтлэлд хэвийн тархалт дахь хүлээгдэж буй утгын талаар холбогдох жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлгийн хамт тодорхой бөгөөд хэрэгтэй тайлбарыг өгсөн гэж найдаж байна.
