Биномын тархалтын хүлээгдэж буй утгыг хэлэлцэх жишээ асуултууд
Биномиал тархалт нь хэд хэдэн бие даан явуулсан туршилтуудад тодорхой тооны амжилтын магадлалыг тодорхойлоход статистикт байнга ашиглагддаг дискрет тархалт юм. Энэхүү тархалт нь эдийн засаг, биологи, нийгмийн шинжлэх ухаан зэрэг янз бүрийн салбарт маш хэрэгтэй байдаг. Биномиал тархалтын нэг чухал ойлголт бол хүлээгдэж буй утга юм. Энэ нийтлэлд биномын тархалтын хүлээгдэж буй утгын тухай ойлголтыг хэд хэдэн жишээ бодлого болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгээр дамжуулан авч үзэх болно.
Биномын тархалтын тодорхойлолт
Биномиал тархалт нь амжилттай эсвэл бүтэлгүйтэл гэсэн хоёр боломжит үр дүнтэй \( n \) туршилтуудын амжилтын тоог тодорхойлдог. Энэ тархалтыг хоёр үндсэн параметрээр тодорхойлдог:
– \( n \): туршилтын тоо
– \( p \): ганц туршилтаар амжилтанд хүрэх магадлал
Энэ тархалтыг ихэвчлэн B(n, p) гэж тэмдэглэдэг. Бином тархалтын магадлалын массын функц (PMF) нь:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
энд \( \binom{n}{k} \) нь биномын коэффициент бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тооцоолно:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Бином тархалтын хүлээгдэж буй утга
Биномиал тархалтын хүлээгдэж буй утга нь \(n\) туршилтын дундаж амжилтын тоо бөгөөд дараах байдлаар томъёологдоно:
\[ E(X) = n \удаа p \]
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1
Асуулт:
Судлаач туршилт хийж, тус бүр нь 0.7 ургах магадлалтай 10 суулгац тарьсан гэж бодъё. Хэдэн суулгац ургах төлөвтэй вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.7 \)
Хүлээгдэж буй утга болох \(E(X) \)-г дараах байдлаар тооцоолно:
\[ E(X) = n \удаа p \]
\[ E(X) = 10 \0.7-г үржүүлнэ \]
\[ E(X) = 7 \]
Тэгэхээр, ургах үрийн тооны хүлээгдэж буй утга нь 7 үр байна.
Жишээ асуулт 2
Асуулт:
Шалгалтанд оюутан бүх асуултанд зөв хариулах магадлал 0.8 байна. Хэрэв шалгалтанд 15 асуулт байгаа бол зөв хариултын тоо хэд байх вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( n = 15 \)
– \( p = 0.8 \)
Хүлээгдэж буй утга болох \(E(X) \)-г дараах байдлаар тооцоолно:
\[ E(X) = n \удаа p \]
\[ E(X) = 15 \0.8-г үржүүлнэ \]
\[ E(X) = 12 \]
Тиймээс зөв хариултын тооны хүлээгдэж буй утга нь 12 асуулт байна.
Жишээ асуулт 3
Асуулт:
Хэвлэх компани 0.02 согог гарах магадлалтай цаасан хуудас үйлдвэрлэдэг. Нэг ажлын өдөрт үйлдвэр 500 хуудас цаас үйлдвэрлэдэг. Нэг өдөрт хэдэн согогтой цаас гарах ёстой вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( n = 500 \)
– \( p = 0.02 \)
Хүлээгдэж буй утга болох \(E(X) \)-г дараах байдлаар тооцоолно:
\[ E(X) = n \удаа p \]
\[ E(X) = 500 \0.02-г үржүүлнэ \]
\[ E(X) = 10 \]
Тэгэхээр нэг өдөрт хэдэн хуудас цаасны гэмтэлтэй байх ёстой вэ гэдэг нь 10 хуудас гэсэн үг.
Ойлголт дахь ойлголтуудын өргөжилт
1. Дисперс ба стандарт хазайлт:
Хүлээгдэж буй утгаас гадна биномын тархалтын дисперс ба стандарт хазайлтыг ойлгох нь чухал юм. Бином тархалтын дисперсийг дараах байдлаар томъёолно.
\[ \text{Var}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. Статистикийн шалгалтанд өргөдөл гаргах:
Эрдмийн шалгалт эсвэл шалгалтын үеэр хүлээгдэж буй оноог оюутан эсвэл оюутнуудын бүлгийн хүлээгдэж буй дундаж оноог хэмжихэд ашиглаж болох бөгөөд энэ нь боловсролын сургалтын хөтөлбөрийн дүн шинжилгээ, сургалтын үр нөлөөг үнэлэхэд тусалдаг.
3. Эпидемиологийн кейс судалгаа:
Жишээлбэл, өвчний халдвар дамжих магадлалыг судлахад өвчтөний эдгэрэх магадлалыг биномын тархалтыг ашиглан загварчилж болно. Хүлээгдэж буй үнэ цэнийг мэдэх нь эрүүл мэндийн мэргэжилтнүүдэд эдгэрэх өвчтөнүүдийн таамагласан тоонд үндэслэн шаардлагатай эмнэлгийн нөөцийг төлөвлөх боломжийг олгодог.
Дүгнэлт
Биномиал тархалт нь цуврал туршилтуудад амжилтын магадлалыг тодорхойлоход тусалдаг статистикийн чухал хэрэгсэл юм. Биномиал тархалтын хүлээгдэж буй утга нь хүлээгдэж буй амжилтын дундаж тоог тодорхойлдог гол ойлголт юм. Хэлэлцсэн жишээнүүдээр дамжуулан хүлээгдэж буй утгыг янз бүрийн нөхцөлд хэрхэн тооцоолж, хэрэгжүүлж байгааг харж болно. Энэхүү ойлголтыг сайтар ойлгох нь судлаачид болон мэргэжилтнүүдэд магадлалын өгөгдөлд үндэслэн илүү сайн төлөвлөгөө гаргаж, илүү мэдээлэлтэй шийдвэр гаргах боломжийг олгодог.
Биномиал тархалт нь зөвхөн магадлалын онол болон статистикт чухал ач холбогдолтой төдийгүй олон төрлийн практик хэрэглээнд маш чухал ач холбогдолтой юм. Тиймээс энэхүү тархалт болон хүлээгдэж буй утгын тухай ойлголтыг судлах нь өгөгдлийн шинжилгээ болон шийдвэр гаргалтад бат бөх суурь болдог.
