Квадрат функцийг байгуулах талаар авч үзсэн жишээ асуултууд
Квадрат функцийг бүтээх нь алгебрын гол сэдэв бөгөөд дунд болон ахисан түвшний математикийн сургалтын хөтөлбөрт байнга гардаг. Квадрат функцийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд учир нь тэдгээрийг өгөгдлийн шинжилгээ, физикийн загварчлал, эдийн засаг гэх мэт янз бүрийн нөхцөлд байнга ашигладаг. Энэ нийтлэлд бид янз бүрийн жишээ бодлогууд болон тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар хэлэлцэх болно.
Квадрат функцийг ойлгох нь
Квадрат функц нь ерөнхий хэлбэртэй хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт функц юм:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
энд \(a\), \(b\), болон \(c\) нь тогтмолууд бөгөөд \(a \neq 0\).
Квадрат функцийн график нь парабола гэгддэг муруй юм. Параболууд нь тэгш хэмтэй бөгөөд тогтмолын тэмдгээс хамаардаг хэлбэртэй байдаг. Хэрэв \(a > 0\) бол парабола дээшээ нээгдэнэ. Харин эсрэгээрээ, хэрэв \(a < 0\) бол парабола доошоо нээгдэнэ. Квадрат функцийн чухал элементүүд - Квадрат тэгшитгэлийн язгуур: \(f(x) = 0\) байх \(x\)-ийн утгууд бөгөөд үүнийг \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) квадрат томъёогоор олж болно. - Оргил: Параболын хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэг нь \(x = -\frac{b}{2a}\) ба \(y = f(-\frac{b}{2a})\) гэсэн томъёогоор олддог \((x, y)\) томъёогоор олддог. - Тэгш хэмийн тэнхлэг: Параболыг хоёр тэгш хэмтэй хэсэгт хуваадаг босоо шугам бөгөөд энэ нь \(x = -\frac{b}{2a}\) цэг дээр байна.
Жишээ асуулт 1: Гурван цэгээс квадрат функцийг зохиох Асуулт: (1, 2), (2, 5), болон (3, 10) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх квадрат функцийн томъёог тодорхойл. Шийдэл: 1. Бид квадрат функцийн ерөнхий хэлбэрээс эхэлнэ: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] 2. (1, 2) цэгийг дараах тэгшитгэлд орлуулна уу: \[ a(1)^2 + b(1) + c = 2 \] \[ a + b + c = 2 \] (Тэгшитгэл 1) 3. (2, 5) цэгийг дараах тэгшитгэлд орлуулна уу: \[ a(2)^2 + b(2) + c = 5 \] \[ 4a + 2b + c = 5 \] (Тэгшитгэл 2) 4. (3, 10) цэгийг дараах тэгшитгэлд орлуулна уу: \[ a(3)^2 + b(3) + c = 10 \] \[ 9a + 3b + c = 10 \] (Тэгшитгэл 3) 5. Одоо бидэнд шугаман тэгшитгэлийн гурван систем байна: \[ \begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \\ 9a + 3b + c = 10 \\ \end{cases} \] 6. Бодохын тулд бид хоёр дахь болон эхний тэгшитгэлийг хасна: \[ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 5 - 2 \] \[ 3a + b = 3 \] (Тэгшитгэл 4) 7. Гурав дахь болон хоёр дахь тэгшитгэлийг хас: \[ (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 10 - 5 \] \[ 5a + b = 5 \] (Тэгшитгэл 5) 8. Тэгшитгэл 5 болон тэгшитгэл 4-ийг хас: \[ (5a + b) - (3a + b) = 5 - 3 \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] 9. Тэгшитгэл 4-т \[ 3(1) + b = 3 \] \[ 3 + b = 3 \] \[ b = 0 \] 10-д \(a = 1 \) болон \(b = 0 \)-ийг 1-т \[ 1 + 0 + c = 2 \] \[ c = 1 \] 11-д орлуулна. Тэгэхээр квадрат функц нь: \[ f(x) = 1x^2 + 0x + 1 \] \[ f(x) = x^2 + 1 \] Жишээ асуулт 2: Орой болон өөр нэг цэгээс квадрат функцийг тодорхойлох Асуулт: (-1, 4) цэг дээр оройтой бөгөөд (1, 0) цэгээр дайран өнгөрдөг квадрат функцийн томъёог тодорхойл. Шийдэл: 1. Оройн цэг \((h, k)\) бүхий квадрат функцийн стандарт хэлбэр нь: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] 2. (-1, 4) оройг стандарт хэлбэрт орлуулна уу: \[ f(x) = a(x + 1)^2 + 4 \] 3. (1, 0) цэгийг тэгшитгэлд орлуулан дараах \(a\)-г олно уу: \[ 0 = a(1 + 1)^2 + 4 \] \[ 0 = a(2)^2 + 4 \] \[ 0 = 4a + 4 \] \[ 4a = -4 \] \[ a = -1 \] 4. Тэгэхээр, квадрат функц нь: \[ f(x) = -1(x + 1)^2 + 4 \] \[ f(x) = - (x + 1)^2 + 4 \] 5. Стандарт хэлбэрийн тархалт: \[ f(x) = - (x^2 + 2x + 1) + 4 \] \[ f(x) = -x^2 - 2x - 1 + 4 \] \[ f(x) = -x^2 - 2x + 3 \] Жишээ асуулт 3: Оройн хэлбэрийг стандарт хэлбэрт хөрвүүлэх Асуулт: \( f(x) = 2(x - 3)^2 + 5 \) квадрат функцийг \( ax^2 + bx + c \) стандарт хэлбэрт хөрвүүлэх. Шийдэл: 1. Эхлээд бид дараахыг өргөжүүлэх хэрэгтэй: \[ f(x) = 2(x - 3)^2 + 5 \] 2. Хоёр гишүүнтийг өргөжүүлэх: \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] 3. Дараах функцийг буцааж орлуулна уу: \[ f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) + 5 \] 4. Хоёр гишүүнтийн хэсэг бүрт 2-ыг тараана уу: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 5 \] 5. Бүх хэсгүүдийг нэгтгэнэ үү: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \] Тиймээс квадрат функцийн стандарт хэлбэр нь: \[ f(x) = 2x^2 - 12x + 23 \] Дүгнэлт Төрөл бүрийн мэдээллээс квадрат функцийг байгуулах нь математикийн чухал ур чадвар юм. Төрөл бүрийн бодлогын төрлүүдтэй тууштай дадлага хийснээр бид квадрат тэгшитгэлийг бодох ойлголт, чөлөөтэй байдлаа сайжруулж чадна. Санаж байх гол зүйлсэд оройн хэлбэрээс мэдээлэл гаргаж авах арга техникийг олох, эзэмших, орой ба стандарт хэлбэрийг хооронд нь хөрвүүлэх, өгөгдсөн цэгүүдээс функц байгуулах зэрэг орно. Эдгээр сэдвүүдийг сайтар ойлгосноор бид ирээдүйд илүү төвөгтэй математикийн сорилтуудыг даван туулж чадна.