Дундаж утгыг хэлэлцэх жишээ асуултууд (дундаж эсвэл дундаж)
Статистикийн хувьд дундаж нь төвийн хандлагын хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэмжүүрүүдийн нэг юм. Дундаж нь боловсрол, эдийн засаг, нийгмийн шинжлэх ухааны аль ч салбарт бидэнд байгаа өгөгдлийн ерөнхий тоймыг өгч чадна. Энэ нийтлэлд дундажийг тооцоолохтой холбоотой хэд хэдэн жишээ бодлогуудыг танилцуулж, энэ ойлголтыг илүү сайн ойлгоход туслах асуудал бүрийн дэлгэрэнгүй хэлэлцүүлгийг хийх болно.
Дундаж утгыг ойлгох (дундаж)
Арифметик дундаж буюу дундаж нь бүх өгөгдлийг нэмээд өгөгдлийн цэгүүдийн тоонд хувааж гаргаж авсан утга юм. Математикийн хувьд дундажийн томъёог дараах байдлаар бичиж болно.
\[ \text{Дундаж} = \frac{\sum x}{n} \]
Хаана:
– \( \sum x \) нь бүх өгөгдлийн нийт нийлбэр юм.
– \(n \) нь өгөгдлийн тоо юм.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1
Асуулт:
Дараах өгөгдлүүдийн дундажийг тооцоол: 8, 10, 12, 14, 16.
Хэлэлцүүлэг:
1. Бүх өгөгдлийг нэмнэ үү:
\[8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60 \]
2. Өгөгдлийн тоог тоолно уу:
\[ n = 5 \]
3. Дундаж утгын томъёог ашиглана уу:
\[ \text{Дундаж} = \frac{60}{5} = 12 \]
Тиймээс өгөгдлийн дундаж нь 12 байна.
Жишээ асуулт 2
Асуулт:
55, 60, 65, 70, 75 гэсэн таван хүний жингийн өгөгдлийг (кг-аар) өгөгдсөн. Дундаж жинг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
1. Хүн бүрийн жинг нэм:
\[55 + 60 + 65 + 70 + 75 = 325 \]
2. Өгөгдлийн тоог тоолно уу:
\[ n = 5 \]
3. Дундаж утгын томъёог ашиглана уу:
\[ \text{Дундаж} = \frac{325}{5} = 65 \]
Тиймээс таван хүний дундаж жин 65 кг байна.
Жишээ асуулт 3
Асуулт:
Ангид 6 сурагчийн математикийн шалгалтын оноо 70, 75, 65, 80, 90, 85 байна. Математикийн шалгалтын дундаж оноо хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
1. Оюутан бүрийн шалгалтын оноог нэм:
\[ 70 + 75 + 65 + 80 + 90 + 85 = 465 \]
2. Өгөгдлийн тоог тоолно уу:
\[ n = 6 \]
3. Дундаж утгын томъёог ашиглана уу:
\[ \text{Дундаж} = \frac{465}{6} = 77.5 \]
Тэгэхээр ангийн математикийн шалгалтын дундаж оноо 77.5 байна.
Өгөгдлийн шинжилгээнд дундаж утгыг ашиглах
Дундаж утгыг тооцоолох нь өгөгдлийн шинжилгээний эхний алхам боловч дундаж утгыг тайлбарлахад илүү өргөн хүрээний нөхцөл байдал шаардлагатай. Жишээлбэл, өмнөх жишээнүүдэд бид тестийн оноо, жин болон бусад энгийн өгөгдлийн дундаж утгыг тооцоолсон. Эдгээр аргууд нь ерөнхий санааг өгдөг боловч дундаж утгыг төв хандлагын хэмжүүр болгон ашиглахдаа анхаарах хэд хэдэн чухал зүйл байдаг.
1. Гадны хүчин зүйлд мэдрэг чанар:
Дундаж нь гажуудал эсвэл хэт туйлширсан өгөгдөлд маш мэдрэмтгий байдаг. Жишээлбэл, шалгалтын онооны багцад нэг сурагч 0 оноо авсан бол бусад нь 60-аас дээш оноо авсан. Энэ 0 нь дундажийг мэдэгдэхүйц бууруулж, ихэнх сурагчдын жинхэнэ амжилтыг тусгах магадлал багатай болгодог.
2. Ерөнхий дүгнэлт:
Дундаж нь өгөгдлийг төлөөлөх ганц утгыг өгдөг боловч тухайн өгөгдлийн тархалтын талаарх мэдээллийг өгдөггүй. Хоёр өөр өгөгдлийн багц ижил дундажтай байж болох ч өгөгдлийн тархалт нь маш өөр байж болно.
Жишээ асуулт 4 (Гадны утгуудтай)
Асуулт:
6 оюутны эцсийн шалгалтын оноо дараах байдалтай байна: 78, 85, 82, 90, 88, болон 30. Эцсийн шалгалтын онооны дундажийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
1. Оюутан бүрийн шалгалтын нийт оноо:
\[ 78 + 85 + 82 + 90 + 88 + 30 = 453 \]
2. Өгөгдлийн тоог тоолно уу:
\[ n = 6 \]
3. Дундаж утгын томъёог ашиглана уу:
\[ \text{Дундаж} = \frac{453}{6} = 75.5 \]
30 гэсэн утга нь маш бага бөгөөд дундаж утгад нөлөөлж, 75.5 болгодог. Гэсэн хэдий ч хэрэв бид гадуурх утгыг үл тоомсорловол бид дараах зүйлийг авна.
\[ \text{30-гүй дундаж} = \frac{78 + 85 + 82 + 90 + 88}{5} = \frac{423}{5} = 84.6 \]
Гаднах утгыг оруулаагүй дундаж нь хамаагүй өндөр байгаа нь хэт их өгөгдлийн нөлөө хэр их байгааг харуулж байна.
Байнга ашиглагддаг өгөгдлийн бүлгийн дундажийг тооцоолох
Ихэнхдээ өгөгдлийг давтамжийн хүснэгт хэлбэрээр харуулдаг. Ийм тохиолдолд бид давтамжийг үржүүлэгч болгон ашиглах ёстой.
Жишээ асуулт 5
Асуулт:
Оюутнуудын бүлгийн өндрийн өгөгдлийг өгсөн:
– 150 см, 5 сурагчтай
– 155 см, 8 сурагчтай
– 160 см, 7 сурагчтай
– 165 см, 10 сурагчтай
Сурагчдын дундаж өндрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
1. Өндөр бүрийг давтамжаар нь үржүүлнэ үү:
\[ (150 \5-г үржүүлэх) + (155 \8-г үржүүлэх) + (160 \7-г үржүүлэх) + (165 \10-г үржүүлэх) = 750 + 1240 + 1120 + 1650 = 4760 \]
2. Нийт давтамжийн тоо (сурагчдын тоо):
\[ 5 + 8 + 7 + 10 = 30 \]
3. Дундаж утгын томъёог ашиглана уу:
\[ \text{Дундаж} = \frac{4760}{30} \approx 158.67 \]
Тэгэхээр сурагчдын дундаж өндөр нь 158.67 см орчим байна.
Дундаж ба медианыг харьцуулах
Заримдаа дундаж нь өгөгдлийн төвийн хамгийн сайн хэмжүүр биш байдаг, ялангуяа гажуудал байгаа тохиолдолд. Ийм тохиолдолд медиан нь илүү сайн сонголт байж болох юм. Медиан нь өгөгдлийг эрэмбэлэх үед өгөгдлийн багцын дундах утга юм.
Жишээ асуулт 6
Асуулт:
Дараах өгөгдлүүдийн дундаж ба медианыг тооцоол: 3, 5, 7, 8, 100.
Хэлэлцүүлэг:
- Дундаж утгыг тооцоол:
\[ \text{Дундаж} = \frac{3 + 5 + 7 + 8 + 100}{5} = \frac{123}{5} = 24.6 \]
– Медианыг тодорхойлохын тулд өгөгдлийг эрэмбэлнэ үү:
\[ 3, 5, 7, 8, 100 \]
Медиан нь дунд байрлалд байгаа тоо бөгөөд энэ нь 7 юм.
Энд, дундаж утга (7) нь гадуурх утга (100)-аас хамааралтай дундаж утга (24.6)-аас илүү өгөгдлийн дийлэнх хэсгийг илүү сайн тусгадаг.
Дүгнэлт
Дундаж утгыг тооцоолох нь статистикийн үндсэн ойлголт бөгөөд өгөгдлийн багцын талаар ерөнхий ойлголттой болоход тусалдаг. Гэсэн хэдий ч өгөгдөлд нөхцөл байдлыг тусгаж, нөхцөл байдлаас хамааран медиан, горим зэрэг бусад статистикийн хэмжүүрийг ашиглахыг авч үзэх нь чухал юм. Дундаж утгыг тайлбарлахдаа гадуурх утгуудын нөлөөллийг үргэлж анхаарч үзэх нь чухал юм. Дээрх жишээ болон хэлэлцүүлэг нь дундаж утгыг хэрхэн тооцоолох, ашиглах талаар илүү тодорхой, илүү тохиромжтой ойлголт өгсөн гэж найдаж байна.
