Функцийн уламжлалын тухай ойлголтын жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Функцийн уламжлал нь физик, эдийн засаг, инженерчлэл зэрэг янз бүрийн салбаруудад өргөн хэрэглэгддэг тооцооллын үндсэн ойлголт юм. Энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээ бодлогыг авч үзэх бөгөөд энэ сэдвийг илүү гүнзгий ойлгоход туслахын тулд функцийн уламжлалын тухай ойлголтыг хэлэлцэх болно.
Үүсмэлийн үндсэн тодорхойлолт
Жишээ асуултуудад орохоосоо өмнө уламжлалын тодорхойлолт болон үндсийг товчхон авч үзэх нь зүйтэй юм. \(x = a \) цэг дээрх \(f(x) \) функцийн уламжлал нь:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
\(f'(x) \) функцийг \(f(x) \) функцийн уламжлалын функц гэж нэрлэдэг.
Жишээ асуулт 1: Үндсэн олон гишүүнт уламжлал
Асуулт:
√f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 √) функцийн эхний уламжлалыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Үндсэн уламжлалын дүрмийг ашиглана уу \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. \( 3x^3 \ )-ийн хувьд:
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. \( -5x^2 \)-ийн хувьд:
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. \(2x \)-ийн хувьд:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. \( -7 \)-ийн хувьд:
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Тиймээс:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Жишээ асуулт 2: Тригонометрийн функцийн уламжлал
Асуулт:
\( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) функцийн эхний уламжлалыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
\( u(x) = \sin(x) \) болон \( v(x) = \cos(x) \) гэсэн үржвэрийн дүрмийг ашиглана уу.
1. \( \sin(x) \)-ийн уламжлал нь \( \cos(x) \) тул \( u'(x) = \cos(x) \).
2. \( \cos(x) \)-ийн уламжлал нь \( -\sin(x) \) тул \( v'(x) = -\sin(x) \).
\( u'(x) \) болон \( v'(x) \) орлуулалт:
\[ g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \]
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Эцсийн үр дүн:
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Жишээ 3: Экспоненциал функцийн уламжлал
Асуулт:
\(h(x) = e^{2x} \) функцийн эхний уламжлалыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
\( k = 2 \) үед экспоненциал функцийн \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) уламжлалын дүрмийг ашиглана уу.
\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
Эцсийн үр дүн:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
Жишээ асуулт 4: Логарифмын функцийн уламжлал
Асуулт:
\( p(x) = \ln(3x + 1) \) функцийн эхний уламжлалыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Логарифмын функцийн уламжлалын дүрмийг ашиглана уу. \( u(x) = 3x + 1 \) үед \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) логарифмын функцийн уламжлалын дүрмийг ашиглаарай.
1. Дотоод уламжлалыг ол \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Логарифмын уламжлалын дүрмийг ашиглана уу:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
Эцсийн үр дүн:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Жишээ асуулт 5: Деривативын хэрэглээ – Хамгийн их ба хамгийн бага
Асуулт:
q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) функцийн \(x \in [-2, 2] \) интервал дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утгуудыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
1. \( q(x) \)-ийн эхний уламжлалыг ол:
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
2. \( q'(x) = 0 \) тэгшитгэлийг бодож суурин цэгүүдийг ол:
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
Хөдөлгөөнгүй цэгүүд нь \( x = 2 \) ба \( x = -1 \) байна.
3. Критик цэгүүд болон интервалын хил хязгаарууд дээр \( q(x) \)-г үнэлнэ үү:
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Үр дүнг үнэлэх:
– Хамгийн их утга нь \(x = 2 \) үед \(q(2) = 15 \) үед тохиолдоно.
– Хамгийн бага утга нь \(x = -1 \) үед \(q(-1) = -12 \) үед тохиолдоно.
Хаах
Функцийн уламжлалын тухай ойлголтыг бүрэн ойлгох нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт чухал ач холбогдолтой. Дээрх жишээ бодлого, хэлэлцүүлэг нь уг ойлголтын талаарх таны ойлголтыг гүнзгийрүүлэхэд тусална гэж найдаж байна. Практикт бид илүү төвөгтэй бодлогуудыг шийдэхийн тулд янз бүрийн дүрэм, теоремуудыг хослуулах шаардлагатай болдог. Амжилттай суралцаарай!
