Матриц ашиглан хувиргалтын найрлагын талаарх жишээ асуултууд
Геометрийн хувиргалтууд нь математикийн, ялангуяа геометр болон шугаман алгебрийн чухал сэдэв юм. Эдгээр хувиргалтуудад орчуулга, эргэлт, тусгал, тэлэлт багтаж болно. Энэ нийтлэлд бид янз бүрийн хувиргалтын найрлагыг матриц ашиглан хэрхэн дүрсэлж, шийдэж болохыг судлах болно. Мөн бид жишээ бодлого, шийдлүүдийг өгөх болно.
1. Матриц ашиглан хувиргалтын танилцуулга
Геометрийн хувиргалтыг матрицаар илэрхийлж болно. Жишээлбэл, эргэлт, шилжилт, тусгал болон тэлэлтийн хувиргалтыг матриц хэлбэрээр дараах байдлаар томъёолж болно:
1. Орчуулга
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Эргэлт
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. X тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл
\[
\text{Reflection X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Тэлэлт (томруулах/масштаблах)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Матрицтай хувиргалтын найрлага
Хувиргалтын найрлага гэдэг нь объектод хоёр буюу түүнээс дээш хувиргалтыг дараалан хэрэглэх явдал юм. Матриц ашиглан хувиргалтын найрлагыг тооцоолохын тулд бид хувиргалтыг илэрхийлсэн матрицуудыг үржүүлнэ.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Soal
Өгөгдсөн P(2, 3) цэгт дараах хувиргалтын үр дүнг олоорой:
1. Цагийн зүүний дагуу \(90^\circ\) эргэлт (CW)
2. 2-ын масштабын коэффициент бүхий тэлэлт
3. (1, -2)-ын орчуулга
Хэлэлцүүлэг
1. Эргэлт \(90^\circ\) CW
\(90^\circ\-г цагийн зүүний дагуу эргүүлэх матриц:
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
P цэг дээр эргэлтийн хувиргалтыг хэрэглэх нь:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Эргэлтийн хувиргалтын дараах P цэг нь P'(3, -2) байна.
2. 2-ын масштабын коэффициент бүхий тэлэлт
2-р масштабын коэффициент бүхий тэлэлтийн матриц:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
P'(3, -2) цэг дээр тэлэлтийн хувиргалтыг хэрэглэх нь:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Тэлэлтийн хувиргалтын дараах P' цэг нь P”(6, -4) байна.
3. (1, -2)-ын орчуулга
Орчуулгын үйлдлүүдийг дараах байдлаар харуулав.
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
P”(6, -4) цэг дээр орчуулгын хувиргалтыг хэрэглэх:
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Тиймээс бүх хувиргалтыг хэрэглэсний дараах төгсгөлийн цэг нь P(7, -6) байна.
3. Хувиргалтын найрлагыг тооцоолох
Нэмэлт асуултууд
Q(1, 2) цэг болон дараах хувиргалт өгөгдсөн:
1. X тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл.
2. Цагийн зүүний дагуу \(180^\circ\) эргүүлэх (CW).
Хэлэлцүүлэг
1. X тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл
X тэнхлэгийн талаарх тусгалын матриц:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Q цэг дээр тусгалын хувиргалтыг хэрэглэх нь:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Ойлтын хувиргалтын дараах Q цэг нь Q'(1, -2) байна.
2. Эргэлт \(180^\circ\) CW
Цагийн зүүний дагуу \(180^\circ\) эргүүлэх матриц:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Q'(1, -2) цэг дээр эргэлтийн хувиргалтыг \(180^\circ\) хэрэглэх нь:
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Тиймээс бүх хувиргалтыг хэрэглэсний дараах төгсгөлийн цэг нь Q(-1, 2) байна.
Хаах
Матриц ашиглан хувиргалтын найрлагын арга нь геометрийн хувиргалтыг хялбаршуулж, системтэйгээр тооцоолоход маш хэрэгтэй. Дээрх алхмуудыг дагаж мөрдвөл бид янз бүрийн төрлийн хувиргалтыг нэг цэг эсвэл бусад геометрийн объектод хялбархан ойлгож, хэрэгжүүлж чадна. Матрицыг хувиргалтад ашиглаж сурах нь тэдгээрийг физик, компьютерийн график гэх мэт янз бүрийн салбарт хэрэгжүүлэхэд хялбар болгодог.
