Аналитик геометрийн хэлэлцүүлгийн асуултуудын жишээ
Пендахулуан
Аналитик геометр нь алгебр болон геометрийг хослуулан орон зай, хэлбэр бүхий бодлогуудыг шийддэг математикийн нэг салбар юм. Энэ нь тэгшитгэл болон координатыг ашиглан геометрийн бодлогуудыг шинжлэх боломжийг олгодог хүчирхэг хэрэгсэл юм. Энэ нийтлэлд аналитик геометрийн талбайн бодлогуудын хэд хэдэн жишээг авч үзэх бөгөөд илүү гүнзгий ойлголтыг хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.
Жишээ асуулт 1: Шугамын тэгшитгэл
Асуулт:
A(1, 2) ба B(3, 7) гэсэн хоёр цэг өгөгдсөн. Эдгээр хоёр цэгээр дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Хоёр цэгээр дайран өнгөрөх шугамын тэгшитгэлийг олохын тулд бид градиент (налуу) томъёог m ашиглаж болно:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
A(x1, y1) = (1, 2) ба B(x2, y2) = (3, 7) цэгүүдтэй үед:
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Дараа нь бид шугамын тэгшитгэлийн томъёог ашиглана:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Нэг цэгийн орлуулалт, жишээлбэл, A(1, 2) цэг:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
Энэ хэлбэрийг y-ийн тодорхой тэгшитгэл болгон хөрвүүл:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Тиймээс шугамын тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Жишээ асуулт 2: Тойрог
Асуулт:
C(-2, 3) цэг дээр төвлөрсөн, радиус нь 4-тэй тэнцүү тойргийн тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Төв нь (h, k) цэг дээр, радиус нь r цэг дээр байрладаг тойргийн ерөнхий тэгшитгэл нь:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Асуултаас харахад тойргийн төв (h, k) = (-2, 3) ба радиус r = 4 байна. Тэгэхээр,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Тиймээс тойргийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Жишээ асуулт 3: Парабола
Асуулт:
Орой нь (1, -2), фокус нь (1, 0) байх босоо параболын тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
(h, k) оройтой босоо параболын хувьд ерөнхий тэгшитгэл нь:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
(h, k) = (1, -2) орой өгөгдсөн бол бид p-ийн утгыг олох хэрэгтэй. Параболын фокус нь (h, k + p) бөгөөд бодлогоос фокус нь (1, 0) байна:
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
Тэгэхээр:
\[ p = 2 \]
Тиймээс ерөнхий тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Тиймээс параболын тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Жишээ асуулт 4: Эллипс
Асуулт:
Төв нь (0, 0) цэг дээр, гол тэнхлэгийн урт 10, бага тэнхлэг 6-тай эллипс өгөгдсөн. Эллипсийн тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Эллипсийн төв (h, k) нь (0, 0), гол тэнхлэгийн урт 2a = 10 тул a = 5, бага тэнхлэгийн урт 2b = 6 тул b = 3 байна. Төв нь (0, 0) цэг дээр байх эллипсийн ерөнхий тэгшитгэл нь:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
a ба b утгуудыг орлуулна уу:
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Тиймээс эллипсийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Жишээ асуулт 5: Гипербол
Асуулт:
Төв нь (1, -3) цэг дээр байх гипербол өгөгдсөн бол хөндлөн тэнхлэгийн урт 8, коньюгат тэнхлэгийн урт 6 байна. Гиперболын тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Төв (h, k) ба хэвтээ хөндлөн тэнхлэгтэй гиперболын хувьд ерөнхий тэгшитгэл нь:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
Гиперболын төв (h, k) нь (1, -3), хөндлөн тэнхлэгийн урт нь 2a = 8 тул a = 4, мөн коньюгат тэнхлэгийн урт нь 2b = 6 тул b = 3 байна. Тиймээс гиперболын тэгшитгэл нь:
\[ \frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Тиймээс гиперболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Дүгнэлт
Аналитик геометр нь алгебрийн тэгшитгэл ашиглан геометрийн дүрс болон бүтцийг шинжлэх хүчирхэг арга юм. Шугам, тойрог, парабол, эллипс болон гиперболын тэгшитгэлийн үндсэн ойлголтуудыг ойлгосноор бид геометрийн янз бүрийн бодлогуудыг хялбархан шийдэж чадна. Энэхүү нийтлэлд таны ойлголтыг гүнзгийрүүлэхэд туслах аналитик геометрийн чухал бодлогуудын жишээ, хэлэлцүүлгийг оруулсан болно. Нэмэлт дадлагын бодлогууд нь энэ материалын талаарх таны ойлголтыг бататгаж, өргөжүүлэхэд тусална.
