Квант үзэгдлийн талаарх жишээ асуултууд
Квант үзэгдэл буюу квант механикаар зохицуулагддаг үзэгдэл нь гүнзгий ойлголт, математикийн нарийн төвөгтэй байдлыг шаарддаг олон төрлийн ойлголт, зарчмуудыг хамардаг. Квант механик нь сонгодог физикээр тайлбарлах боломжгүй электрон, фотон зэрэг атомын доорх бөөмсийн зан төлөвийг тодорхойлдог физикийн салбар юм. Энэ нийтлэлд бид квант механикийн үндсэн зарчмуудыг ойлгоход туслахын тулд квант үзэгдэлтэй холбоотой хэд хэдэн жишээ бодлого, тэдгээрийн шийдлийг судлах болно.
Жишээ асуулт 1: Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын зарчим
Асуулт:
Атом дахь электроны байрлалыг \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} \) нарийвчлалтайгаар хэмждэг нь мэдэгдэж байна. Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын зарчмыг ашиглан электроны импульсийг (\( \Delta p \)) хэмжих хамгийн бага тодорхойгүй байдлыг тодорхойл.
Хариулт:
Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын зарчимд дараахь зүйлийг заасан байдаг.
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
энд \( \hbar \) нь Планкийн бууруулсан тогтмол бөгөөд \( \hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} \) утгатай байна.
\( \Delta x = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \times 10^{-9} \text{ m} \) гэж орлуулна уу:
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Дельта p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 0.1 \times 10^{-9}} \]
\[ \Дельта p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} \]
\[ \Дельта p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} = 5.27 \times 10^{-25} \text{ кг м/с} \]
Тиймээс электроны импульсийг хэмжих хамгийн бага тодорхойгүй байдал нь \( 5.27 \times 10^{-25} \text{ кг м/с} \) байна.
Жишээ асуулт 2: Хайрцаг дахь потенциал энерги (Хайрцаг дахь бөөм)
Асуулт:
m масстай бөөм L урттай нэг хэмжээст хайрцагт гацсан байна. Бөөмийн үндсэн энерги (газрын төлөвийн энерги) хэд вэ?
Хариулт:
Нэг хэмжээст хайрцагт байгаа бөөмийн үндсэн энерги (газрын төлөвийн энерги)-ийг дараах тэгшитгэлээр өгнө.
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]
Үндсэн төлөвийн хувьд (\( n=1 \)):
\[ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \]
энд \( h \) нь Планкийн тогтмол \( ( h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}) \).
\( m = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg} \) (электроны масс) ба \( L = 1 \times 10^{-9} \text{ m} \) гэж үзье:
\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (1 \times 10^{-9})^2} \]
\[ E_1 = \frac{4.39 \times 10^{-67}}{7.287 \times 10^{-50}} \]
\[ E_1 = 6.02 \удаа 10^{-18} \text{ J} \]
Тиймээс бөөмийн үндсэн энерги нь \( 6.02 \times 10^{-18} \text{ J} \) байна.
Жишээ 3: Долгионы функц дээрх Гамильтоны операторын үйлдлүүд
Асуулт:
Нэг хэмжээст хайрцагт байгаа бөөмийн долгионы функц нь \( n=1,2,3,\ldots \) үед \( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) байна. Гамильтоны оператор \( \hat{H} \) ашиглан бөөмийн энергийг тодорхойл.
Хариулт:
Нэг хэмжээст Гамильтоны оператор нь:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]
Бид Гамильтоны операторыг долгионы функцэд хэрэглэх ёстой \( \psi(x) \):
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\( \psi(x) \)-ийн эхний уламжлал:
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( \frac{n\pi}{L} \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
Хоёр дахь уламжлал:
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( -\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Одоо үр дүнг Гамильтоны операторт буцааж орлуулна уу:
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
Эндээс бид дараах зүйлийг харж байна:
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \psi(x) \]
Тиймээс бөөмийн энерги нь:
\[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2м L^2} \]
n=1 ∗-ийн энергийг олохыг хүсэж байна гэж бодъё:
\[ E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2м L^2} \]
Дүгнэлт
Квант үзэгдэлтэй холбоотой бодлогуудыг шийдвэрлэхэд Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын зарчим, потенциал хайрцаг дахь бөөмсийн энерги зэрэг квант механикийн үндсэн зарчмуудыг сайтар ойлгох шаардлагатай. Хэд хэдэн жишээ бодлого болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгээр дамжуулан бид квант механикийн үндсэн ойлголтууд болон түүнийг янз бүрийн физикийн нөхцөл байдалд хэрэглэхэд нь туслахыг хүсч байна. Квант механик нь нарийн төвөгтэй мэт санагдаж болох ч практик бодлого, ойлголтын ойлголт нь энэхүү үндсэн материалыг эзэмшихэд ихээхэн тус болно.
