Магадлалын тархалтын жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Магадлалын тархалт нь статистик ба магадлалын үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Үүнийг санамсаргүй тооны янз бүрийн утгын тохиолдох магадлалыг ойлгоход ашигладаг. Магадлалын тархалт нь шинжилж буй өгөгдлийн шинж чанараас хамааран олон хэлбэртэй байж болно. Магадлалын тархалтын хамгийн түгээмэл хоёр төрөл нь дискрет ба тасралтгүй юм. Энэ нийтлэлд бид хэд хэдэн жишээ бодлогуудыг авч үзэж, энэ сэдвийг илүү сайн ойлгоход туслах магадлалын тархалтын талаар хэлэлцэх болно.
Дискрет тархалт
Дискрет тархалт гэдэг нь дискрет санамсаргүй хувьсагчийн, өөрөөр хэлбэл зөвхөн тодорхой утгыг авч чаддаг хувьсагчийн магадлалыг тооцоолдог тархалт юм. Дискрет тархалтын сайн мэддэг жишээнд биномын тархалт ба Пуассоны тархалт орно.
Жишээ 1: Биномын тархалт
Биномиал тархалт нь Бернуллигийн цуврал туршилтуудын амжилтын тоог тодорхойлдог. Бернуллигийн туршилт бүр хоёр үр дүнтэй байдаг: амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл. Амжилтын магадлал туршилтын туршид тогтмол хэвээр байна.
Асуулт:
Эмийн компани 10 өвчтөнд шинэ эмийг туршиж байна. Тухайн эм нь аль ч өвчтөнд үйлчлэх магадлал 0.7 байна. Тухайн эм нь 10 өвчтөний яг 7-д нь үйлчлэх магадлалыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Санамсаргүй хувьсагч \(X\) нь \(n = 10\) ба \(p = 0.7\) гэсэн биномын тархалтыг дагадаг. Биномын магадлалын функц нь:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\)-ийн хувьд:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Биномиал коэффициентийг тооцоолох нь \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Магадлалын утгыг тооцоолох нь:
\[ P(X = 7) = 120 \удаа (0.7)^7 \удаа (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \ойролцоогоор 120 \удаа 0.0823543 \удаа 0.027 \]
\[ P(X = 7) \ойролцоогоор 0.231 \]
Тиймээс уг эм нь 10 өвчтөний яг 7-д нь үйлчлэх магадлал ойролцоогоор 0.231 буюу 23.1% байна.
Жишээ 2: Пуассоны тархалт
Пуассоны тархалтыг өгөгдсөн цаг хугацаа эсвэл орон зайн интервал дотор ховор тохиолддог үйл явдлын тоог загварчлахад ашигладаг.
Асуулт:
Дэлгүүр цагт дунджаар 4 үйлчлүүлэгч авдаг. Нэг цагт дэлгүүр яг 5 үйлчлүүлэгч авах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Санамсаргүй хувьсагч \(X\) нь \(\lambda = 4\ параметртэй Пуассоны тархалтыг дагадаг. Пуассоны магадлалын массын функц нь:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
\(k = 5\)-ийн хувьд:
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Тоолох:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \ойролцоогоор 0.156 \]
Тэгэхээр дэлгүүр нэг цагт яг 5 үйлчлүүлэгч хүлээн авах магадлал ойролцоогоор 0.156 буюу 15.6% байна.
Тасралтгүй тархалт
Хэмжиж буй санамсаргүй хувьсагч нь тодорхой хязгаарт ямар ч утга авч чадах үед тасралтгүй тархалтыг ашигладаг. Тасралтгүй тархалтын сайн мэддэг жишээнд Хэвийн тархалт ба Экспоненциал тархалт орно.
Жишээ 3: Хэвийн тархалт
Хэвийн тархалт буюу ихэвчлэн Гауссын тархалт гэж нэрлэгддэг тархалт нь шинжлэх ухаан, инженерчлэл, эдийн засаг зэрэг янз бүрийн салбарт түгээмэл хэрэглэгддэг тархалт юм.
Асуулт:
Хотын насанд хүрсэн эрчүүдийн өндөр нь дундаж нь 170 см, стандарт хазайлт нь 10 см байхаар хэвийн тархсан байдаг. Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон эрэгтэй 160 см-ээс 180 см өндөр байх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Бид 160 см ба 180 см-ийн z-оноог тооцоолох хэрэгтэй. z-оноог дараах байдлаар тодорхойлно:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
\(X = 160\)-ийн хувьд:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = 180\)-ийн хувьд:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Одоо бид z хүснэгтэд -1-ээс 1 хүртэлх магадлалын утгуудыг харах хэрэгтэй. z = -1-ээс z = 1 хүртэлх утга нь ойролцоогоор 0.6826 байна.
Тэгэхээр санамсаргүй байдлаар сонгогдсон эрэгтэй хүн 160 см-ээс 180 см өндөр байх магадлал ойролцоогоор 0.6826 буюу 68.26% байна.
Жишээ 4: Экспоненциал тархалт
Экспоненциал тархалтыг Пуассоны процесс дахь үйл явдлуудын хоорондох хугацааг загварчлахад ашигладаг.
Асуулт:
Дэлгүүрт хоёр үйлчлүүлэгч ирэх дундаж хугацаа 15 минут байна. Хоёр үйлчлүүлэгч ирэх хугацаа 10 минутаас бага байх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Экспоненциал тархалт нь дундаж утгын (\(\mu\) урвуу болох \(\lambda\) параметртэй. Дундаж утга нь 15 минут:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Экспоненциал хуримтлагдсан тархалтын функц нь:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
\(x = 10\)-ийн хувьд:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \ойролцоогоор 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \approx 0.4866 \]
Тэгэхээр хоёр үйлчлүүлэгчийн ирэх хугацаа 10 минутаас бага байх магадлал нь ойролцоогоор 0.4866 буюу 48.66% байна.
Дүгнэлт
Дискрет болон тасралтгүй магадлалын тархалтууд нь санамсаргүй хувьсагчдын зан төлөвийг загварчлах, ойлгоход маш хэрэгтэй ойлголтууд юм. Биномиал болон Пуассоны тархалтыг ихэвчлэн дискрет хувьсагчдын хувьд ашигладаг бол хэвийн болон экспоненциал тархалтууд нь тасралтгүй тархалтын жишээ юм.
Дээрх жишээнүүдээр дамжуулан та магадлалын тархалт дахь магадлалыг хэрхэн тооцоолж, тайлбарлах талаар илүү сайн ойлголттой болсон гэж найдаж байна. Тогтмол дадлага хийснээр магадлалын тархалтыг ойлгох чадвар тань сайжирч, янз бүрийн салбаруудад хэрэглэгдэж болно.
